Номер 11, страница 29 - гдз по геометрии 7 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

11. Отрезок длиной 8 см разделили на четыре отрезка. Расстояние между серединами крайних отрезков равно 5 см. Найдите расстояние между серединами средних отрезков.

11. Отрезок длиной 8 см разделили на четыре отрезка. Расстояние между серединами крайних отрезков равно 5 см. Найдите расстояние между серединами средних отрезков.

Обозначим длины четырех последовательных отрезков, на которые разделили исходный отрезок, как $l_1$, $l_2$, $l_3$ и $l_4$.

Общая длина исходного отрезка составляет 8 см, следовательно, сумма длин этих четырех отрезков равна:

$l_1 + l_2 + l_3 + l_4 = 8$

Крайними отрезками являются первый ($l_1$) и четвертый ($l_4$). Средними отрезками — второй ($l_2$) и третий ($l_3$).

Чтобы найти расстояния, расположим отрезки на числовой оси, начиная с точки 0.
Середина первого отрезка будет находиться в точке $M_1 = \frac{l_1}{2}$.
Середина четвертого отрезка будет находиться в точке $M_4 = l_1 + l_2 + l_3 + \frac{l_4}{2}$.

По условию, расстояние между серединами крайних отрезков равно 5 см. Запишем это в виде уравнения:

$M_4 - M_1 = (l_1 + l_2 + l_3 + \frac{l_4}{2}) - \frac{l_1}{2} = 5$

Упростив выражение, получим:

$\frac{l_1}{2} + l_2 + l_3 + \frac{l_4}{2} = 5$

Теперь рассмотрим разницу между общей длиной всех отрезков и расстоянием между серединами крайних отрезков:

$(l_1 + l_2 + l_3 + l_4) - (\frac{l_1}{2} + l_2 + l_3 + \frac{l_4}{2}) = 8 - 5$

После вычитания и упрощения получим:

$\frac{l_1}{2} + \frac{l_4}{2} = 3$

Отсюда находим сумму длин крайних отрезков, умножив обе части на 2:

$l_1 + l_4 = 6$ см.

Зная общую длину и сумму длин крайних отрезков, мы можем найти сумму длин средних отрезков:

$l_2 + l_3 = (l_1 + l_2 + l_3 + l_4) - (l_1 + l_4) = 8 - 6 = 2$ см.

Теперь найдем искомое расстояние — расстояние между серединами средних отрезков ($l_2$ и $l_3$).
Середина второго отрезка находится в точке $M_2 = l_1 + \frac{l_2}{2}$.
Середина третьего отрезка находится в точке $M_3 = l_1 + l_2 + \frac{l_3}{2}$.

Расстояние между ними равно:

$M_3 - M_2 = (l_1 + l_2 + \frac{l_3}{2}) - (l_1 + \frac{l_2}{2}) = l_2 - \frac{l_2}{2} + \frac{l_3}{2} = \frac{l_2}{2} + \frac{l_3}{2} = \frac{l_2 + l_3}{2}$

Подставим найденное значение суммы $l_2 + l_3 = 2$ см в эту формулу:

Расстояние $= \frac{2}{2} = 1$ см.

Ответ: 1 см.