Номер 13, страница 29 - гдз по геометрии 7 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

13. Начертите прямую и отметьте на ней точки $A$ и $B$ так, чтобы длина отрезка $AB$ была равной 5 см. Отметьте на прямой $AB$ такую точку $C$, что $AC - BC = 2$ см.

13. Начертите прямую и отметьте на ней точки $A$ и $B$ так, чтобы длина отрезка $AB$ была равной $5\text{ см}$. Отметьте на прямой $AB$ такую точку $C$, что $AC - BC = 2\text{ см}$.

По условию задачи, на прямой отмечены точки А и В так, что длина отрезка $AB = 5$ см. На этой же прямой нужно отметить точку С, для которой выполняется равенство $AC - BC = 2$ см. Рассмотрим возможные варианты расположения точки С относительно точек А и В.

Случай 1: Точка С лежит на отрезке АВ (между точками А и В).

В этом случае длина отрезка АВ является суммой длин отрезков АС и ВС, то есть $AC + BC = AB$. Подставляя известное значение, получаем $AC + BC = 5$ см. Вместе с условием из задачи $AC - BC = 2$ см, мы получаем систему из двух линейных уравнений:

$\begin{cases} AC + BC = 5 \\ AC - BC = 2 \end{cases}$

Сложим первое и второе уравнения: $(AC + BC) + (AC - BC) = 5 + 2$. Это дает $2AC = 7$, откуда находим $AC = 3,5$ см.

Теперь подставим найденное значение AC в первое уравнение: $3,5 + BC = 5$. Отсюда $BC = 5 - 3,5 = 1,5$ см.

Проверим, выполняется ли исходное условие: $AC - BC = 3,5 - 1,5 = 2$ см. Условие выполнено. Значит, такое расположение точки С возможно.

Случай 2: Точка С не лежит на отрезке АВ.

Это означает, что либо точка В лежит между А и С, либо точка А лежит между С и В.

а) Точка В лежит между А и С.

В этом случае $AC = AB + BC$. Тогда разность длин отрезков AC и BC равна: $AC - BC = (AB + BC) - BC = AB$.

Поскольку $AB = 5$ см, мы получаем $AC - BC = 5$ см. Это противоречит условию задачи, где $AC - BC = 2$ см. Следовательно, этот случай невозможен.

б) Точка А лежит между С и В.

В этом случае $BC = BA + AC$. Тогда разность длин отрезков AC и BC равна: $AC - BC = AC - (BA + AC) = -BA = -AB$.

Поскольку $AB = 5$ см, мы получаем $AC - BC = -5$ см. Это также противоречит условию задачи, где $AC - BC = 2$ см. Следовательно, и этот случай невозможен.

Единственный возможный вариант — это когда точка С расположена между точками А и В. Чтобы отметить точку С, нужно начертить прямую, отметить на ней точки А и В на расстоянии 5 см друг от друга, а затем от точки А отложить в сторону точки В отрезок длиной 3,5 см и в этом месте поставить точку С.

Ответ: Точка С должна быть расположена на отрезке АВ на расстоянии 3,5 см от точки А и 1,5 см от точки В.