Номер 16, страница 30 - гдз по геометрии 7 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

Отрезок и его длина. Вариант 2. Упражнения - номер 16, страница 30.

Учебник 2017.

16. Начертите прямую и отметьте на ней точки $A$ и $B$ так, чтобы длина отрезка $AB$ была равной $8 \text{ см}$. Найдите на прямой $AB$ все точки, для каждой из которых сумма расстояний до концов отрезка $AB$ равна:

1) $8 \text{ см}$;

2) $10 \text{ см}$;

3) $7 \text{ см}$.

Учебник 2021.

16. Начертите прямую и отметьте на ней точки $A$ и $B$ так, чтобы длина отрезка $AB$ была равной 8 см. Найдите на прямой $AB$ все точки, для каждой из которых сумма расстояний до концов отрезка $AB$ равна:

1) 8 см;

2) 10 см;

3) 7 см.

Решение.

Решение 2 (2021).

Начертим прямую и отметим на ней отрезок $AB$ длиной 8 см. Пусть $M$ – искомая точка на этой прямой. Проанализируем, где может располагаться точка $M$ относительно отрезка $AB$.

Возможны три случая:

1. Точка $M$ лежит на отрезке $AB$ (между точками $A$ и $B$, включая концы). В этом случае сумма расстояний от точки $M$ до концов отрезка равна длине самого отрезка: $MA + MB = AB$.
2. Точка $M$ лежит на прямой вне отрезка $AB$. В этом случае точка $M$ либо на луче, продолжающем отрезок за точку $A$, либо на луче, продолжающем отрезок за точку $B$. В обоих случаях сумма расстояний $MA + MB$ будет строго больше длины отрезка $AB$ ($MA + MB > AB$). Это следует из аксиомы измерения отрезков (если точка $A$ лежит между $M$ и $B$, то $MB = MA + AB$, откуда $MA + MB = 2MA + AB > AB$).

Используем эти соображения для решения каждого пункта.

1) Сумма расстояний равна 8 см
Требуется найти все точки $M$ на прямой $AB$, для которых $MA + MB = 8$ см.
Поскольку длина отрезка $AB$ также равна 8 см, мы ищем точки, для которых выполняется равенство $MA + MB = AB$.
Как было показано выше, это равенство справедливо для всех точек $M$, которые принадлежат отрезку $AB$, включая его концы $A$ и $B$.
Ответ: Все точки отрезка $AB$.

2) Сумма расстояний равна 10 см
Требуется найти все точки $M$ на прямой $AB$, для которых $MA + MB = 10$ см.
Так как $10 \text{ см} > 8 \text{ см}$ ($10 > AB$), искомые точки $M$ должны лежать на прямой вне отрезка $AB$.
Рассмотрим два подслучая:
a) Точка $M$ лежит на прямой за точкой $B$ (порядок точек на прямой: A-B-M). В этом случае расстояние $MA = AB + MB$. Тогда сумма расстояний $MA + MB = (AB + MB) + MB = AB + 2MB$.
Подставляем значения: $10 = 8 + 2MB$.
$2MB = 10 - 8 = 2$.
$MB = 1$ см.
Таким образом, одна из искомых точек находится на расстоянии 1 см от точки $B$ на продолжении отрезка $AB$.
б) Точка $M$ лежит на прямой за точкой $A$ (порядок точек на прямой: M-A-B). В этом случае расстояние $MB = MA + AB$. Тогда сумма расстояний $MA + MB = MA + (MA + AB) = 2MA + AB$.
Подставляем значения: $10 = 2MA + 8$.
$2MA = 10 - 8 = 2$.
$MA = 1$ см.
Таким образом, вторая искомая точка находится на расстоянии 1 см от точки $A$ на продолжении отрезка $AB$.
Ответ: Существуют две такие точки: одна находится на прямой на расстоянии 1 см от точки $A$ вне отрезка $AB$, а другая – на расстоянии 1 см от точки $B$ вне отрезка $AB$.

3) Сумма расстояний равна 7 см
Требуется найти все точки $M$ на прямой $AB$, для которых $MA + MB = 7$ см.
Для любой точки $M$ на прямой, содержащей отрезок $AB$, выполняется неравенство $MA + MB \ge AB$ (неравенство треугольника для вырожденного случая, когда все три точки лежат на одной прямой).
Поскольку $AB = 8$ см, то для любой точки $M$ на прямой $AB$ должно выполняться условие $MA + MB \ge 8$ см.
Условие задачи $MA + MB = 7$ см противоречит этому, так как $7 < 8$.
Следовательно, на прямой $AB$ не существует ни одной точки, для которой сумма расстояний до точек $A$ и $B$ была бы равна 7 см.
Ответ: Таких точек не существует.