Номер 30, страница 32 - гдз по геометрии 7 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

30. На рисунке 77 $\angle ABK = \angle FBM$. Луч $BP$ — биссектриса угла $KBF$. Докажите, что луч $BP$ — биссектриса угла $ABM$.

30. На рисунке 77 $\angle ABK = \angle FBM$. Луч $BP$ — биссектриса угла $KBF$. Докажите, что луч $BP$ — биссектриса угла $ABM$.

Рис. 77

Чтобы доказать, что луч BP является биссектрисой угла ABM, необходимо показать, что он делит этот угол на два равных угла, то есть что $\angle ABP = \angle MBP$.

Согласно условию задачи, луч BP является биссектрисой угла KBF. По определению биссектрисы, это означает, что луч BP делит угол KBF на два равных угла:

$\angle KBP = \angle FBP$ (1)

Также, по условию, нам дано равенство:

$\angle ABK = \angle FBM$ (2)

Из рисунка видно, что угол $\angle ABP$ можно представить как сумму двух углов: $\angle ABK$ и $\angle KBP$.

$\angle ABP = \angle ABK + \angle KBP$

Аналогично, угол $\angle MBP$ можно представить как сумму углов $\angle FBM$ и $\angle FBP$.

$\angle MBP = \angle FBM + \angle FBP$

Теперь сравним полученные выражения для углов $\angle ABP$ и $\angle MBP$. Мы можем сложить левые и правые части равенств (1) и (2):

$\angle ABK + \angle KBP = \angle FBM + \angle FBP$

Левая часть этого нового равенства представляет собой угол $\angle ABP$, а правая часть — угол $\angle MBP$. Таким образом, мы получаем:

$\angle ABP = \angle MBP$

Так как луч BP делит угол ABM на два равных угла ($\angle ABP$ и $\angle MBP$), то по определению он является биссектрисой угла ABM. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Луч BP является биссектрисой угла ABM.