Номер 51, страница 35 - гдз по геометрии 7 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

Перпендикулярные прямые. Вариант 2. Упражнения - номер 51, страница 35.

Учебник 2017.

51. На рисунке 89 $\angle AOD = \angle COF,$ $\angle DOC = \angle BOF.$ Докажите, что $OC \perp AB.$

Учебник 2021.

51. На рисунке 89 $\angle AOD = \angle COF$, $\angle DOC = \angle BOF$. Докажите, что $OC \perp AB$.

Рис. 89

Решение.

Решение 2 (2021).

Поскольку точки A, O, B лежат на одной прямой, угол $ \angle AOB $ является развернутым, а его градусная мера составляет $ 180° $.

Угол $ \angle AOB $ состоит из двух смежных углов: $ \angle AOC $ и $ \angle BOC $. Сумма смежных углов равна $ 180° $, поэтому:
$ \angle AOC + \angle BOC = 180° $

Из рисунка видно, что угол $ \angle AOC $ состоит из суммы углов $ \angle AOD $ и $ \angle DOC $:
$ \angle AOC = \angle AOD + \angle DOC $

Аналогично, угол $ \angle BOC $ состоит из суммы углов $ \angle COF $ и $ \angle BOF $:
$ \angle BOC = \angle COF + \angle BOF $

По условию задачи нам даны следующие равенства:
1) $ \angle AOD = \angle COF $
2) $ \angle DOC = \angle BOF $

Сравнивая выражения для углов $ \angle AOC $ и $ \angle BOC $ и используя условия задачи, мы можем заключить, что эти углы равны. Так как слагаемые, из которых они состоят, попарно равны, то и их суммы равны:
$ \angle AOC = \angle AOD + \angle DOC = \angle COF + \angle BOF = \angle BOC $
Следовательно, $ \angle AOC = \angle BOC $.

Теперь вернемся к равенству для развернутого угла и подставим в него $ \angle AOC $ вместо $ \angle BOC $:
$ \angle AOC + \angle AOC = 180° $
$ 2 \cdot \angle AOC = 180° $

Найдем величину угла $ \angle AOC $:
$ \angle AOC = \frac{180°}{2} = 90° $

Так как угол между лучом OC и прямой AB равен $ 90° $, то по определению перпендикулярности луч OC перпендикулярен прямой AB ($ OC \perp AB $).

Ответ: Что и требовалось доказать.