Номер 45, страница 34 - гдз по геометрии 7 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

45. На рисунке 86 $\angle ABK = \angle CDB.$

Докажите, что $\angle CBA = \angle BDF.$

Рис. 86

45. На рисунке 86 $\angle ABK = \angle CDB$.

Докажите, что $\angle CBA = \angle BDF$.

Рис. 86

Для доказательства данного утверждения воспользуемся свойством смежных углов. Смежные углы — это два угла, у которых одна сторона общая, а две другие лежат на одной прямой. Сумма смежных углов всегда равна $180^\circ$.

1. Рассмотрим углы $ \angle CBA $ и $ \angle ABK $. Из рисунка видно, что эти углы имеют общую вершину B и общую сторону BA, а стороны BK и BC лежат на одной прямой KC. Следовательно, углы $ \angle CBA $ и $ \angle ABK $ являются смежными. Их сумма равна $180^\circ$:

$ \angle CBA + \angle ABK = 180^\circ $

Из этого равенства выразим $ \angle CBA $:

$ \angle CBA = 180^\circ - \angle ABK $

2. Теперь рассмотрим углы $ \angle CDB $ и $ \angle BDF $. Они имеют общую вершину D и общую сторону DB, а стороны DC и DF лежат на одной прямой FC. Следовательно, эти углы также являются смежными, и их сумма равна $180^\circ$:

$ \angle CDB + \angle BDF = 180^\circ $

Из этого равенства выразим $ \angle BDF $:

$ \angle BDF = 180^\circ - \angle CDB $

3. По условию задачи нам дано, что $ \angle ABK = \angle CDB $.

4. Сравним выражения для $ \angle CBA $ и $ \angle BDF $. Поскольку по условию $ \angle ABK = \angle CDB $, то правые части выражений $ (180^\circ - \angle ABK) $ и $ (180^\circ - \angle CDB) $ равны. Если равны правые части двух равенств, то равны и их левые части.

Следовательно, $ \angle CBA = \angle BDF $. Углы, смежные с равными углами, равны между собой. Что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано, что $ \angle CBA = \angle BDF $.