Номер 30, страница 80 - гдз по геометрии 7 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

30. На рисунке 209 $\angle DOK = \angle MOP$, $\angle POK = \angle TOM$. Докажите, что $\angle DOT = 2\angle KOM$.

Рис. 209

30. На рисунке 209 $ \angle DOK = \angle MOP, \angle POK = \angle TOM $. Докажите, что $ \angle DOT = 2 \angle KOM $.

Рис. 209

Для доказательства данного утверждения представим угол $ \angle DOT $ как сумму составляющих его углов, исходя из рисунка:

$ \angle DOT = \angle DOK + \angle KOP + \angle POM + \angle MOT $

Согласно условию задачи, у нас есть два равенства:

1. $ \angle DOK = \angle MOP $

2. $ \angle POK = \angle TOM $

Теперь подставим эти равенства в исходную формулу для $ \angle DOT $. Заменим $ \angle DOK $ на $ \angle MOP $ и $ \angle MOT $ (что то же самое, что $ \angle TOM $) на $ \angle POK $:

$ \angle DOT = (\angle MOP) + \angle KOP + \angle POM + (\angle POK) $

Сгруппируем одинаковые углы ($ \angle KOP $ и $ \angle POK $ — это один и тот же угол, как и $ \angle POM $ и $ \angle MOP $):

$ \angle DOT = (\angle KOP + \angle POK) + (\angle POM + \angle MOP) $

$ \angle DOT = 2\angle KOP + 2\angle POM $

Вынесем общий множитель 2 за скобки:

$ \angle DOT = 2(\angle KOP + \angle POM) $

Из рисунка видно, что сумма углов $ \angle KOP $ и $ \angle POM $ образует угол $ \angle KOM $:

$ \angle KOM = \angle KOP + \angle POM $

Подставим это выражение в нашу последнюю формулу для $ \angle DOT $:

$ \angle DOT = 2\angle KOM $

Что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство $ \angle DOT = 2\angle KOM $ доказано.