Номер 1.45, страница 25 - гдз по геометрии 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.45. На рисунке 1.28 угол $\angle AOD$ – прямой, $\angle AOC = \angle BOC = \angle COD$. Найдите угол, образованный лучами, которые делят $\angle AOB$ и $\angle COD$ пополам.

Рис. 1.28

По условию задачи, угол $AOD$ — прямой, что означает $∠AOD = 90°$.

В тексте задачи указано равенство $∠AOC = ∠BOC = ∠COD$. Это утверждение противоречиво, так как из рисунка видно, что луч $OB$ лежит внутри угла $AOC$. Это означает, что $∠AOC = ∠AOB + ∠BOC$. Равенство $∠AOC = ∠BOC$ могло бы выполняться только при $∠AOB = 0°$, что не соответствует рисунку. Вероятнее всего, в условии допущена опечатка, и имелось в виду равенство углов, отмеченных на рисунке одинаковыми дугами: $∠AOB = ∠BOC = ∠COD$. Это предположение логично и соответствует как графическому изображению, так и стандартной постановке подобных задач. Далее будем исходить из него.

Угол $AOD$ можно представить как сумму трех углов:

$∠AOD = ∠AOB + ∠BOC + ∠COD$

Так как $∠AOB = ∠BOC = ∠COD$, мы можем найти величину каждого из этих углов, подставив известные значения в равенство:

$∠AOB + ∠AOB + ∠AOB = 90°$

$3 \cdot ∠AOB = 90°$

$∠AOB = \frac{90°}{3} = 30°$

Следовательно, $∠AOB = ∠BOC = ∠COD = 30°$.

Пусть луч $OK$ является биссектрисой угла $AOB$, а луч $OM$ — биссектрисой угла $COD$. По определению биссектриса делит угол пополам, поэтому:

$∠KOB = \frac{1}{2}∠AOB = \frac{1}{2} \cdot 30° = 15°$

$∠COM = \frac{1}{2}∠COD = \frac{1}{2} \cdot 30° = 15°$

Угол, образованный этими биссектрисами, — это угол $KOM$. Он состоит из суммы трех углов: $∠KOB$, $∠BOC$ и $∠COM$.

$∠KOM = ∠KOB + ∠BOC + ∠COM$

Подставим известные значения, чтобы найти величину искомого угла:

$∠KOM = 15° + 30° + 15° = 60°$

Ответ: $60°$.