Номер 1.48, страница 30 - гдз по геометрии 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.48. Могут ли оба смежных угла быть:

1) острыми;

2) тупыми;

3) прямыми?

Обоснуйте ответ.

По определению, смежные углы — это два угла с общей вершиной и одной общей стороной, две другие стороны которых лежат на одной прямой и являются дополнительными лучами. Ключевое свойство смежных углов заключается в том, что их сумма всегда равна развернутому углу, то есть $180^{\circ}$. Обозначим два смежных угла как $\alpha$ и $\beta$. Тогда всегда выполняется равенство: $\alpha + \beta = 180^{\circ}$.

1) острыми

Острый угол — это угол, градусная мера которого меньше $90^{\circ}$. Если бы оба смежных угла, $\alpha$ и $\beta$, были острыми, то выполнялись бы неравенства: $\alpha < 90^{\circ}$ и $\beta < 90^{\circ}$. Сложив эти неравенства, мы бы получили: $\alpha + \beta < 90^{\circ} + 90^{\circ}$, или $\alpha + \beta < 180^{\circ}$. Это противоречит основному свойству смежных углов, согласно которому их сумма должна быть строго равна $180^{\circ}$. Следовательно, два смежных угла не могут быть одновременно острыми.

Ответ: нет, не могут.

2) тупыми

Тупой угол — это угол, градусная мера которого больше $90^{\circ}$, но меньше $180^{\circ}$. Если бы оба смежных угла, $\alpha$ и $\beta$, были тупыми, то выполнялись бы неравенства: $\alpha > 90^{\circ}$ и $\beta > 90^{\circ}$. Сложив эти неравенства, мы бы получили: $\alpha + \beta > 90^{\circ} + 90^{\circ}$, или $\alpha + \beta > 180^{\circ}$. Это также противоречит свойству смежных углов, по которому их сумма равна $180^{\circ}$. Следовательно, два смежных угла не могут быть одновременно тупыми.

Ответ: нет, не могут.

3) прямыми

Прямой угол — это угол, градусная мера которого равна ровно $90^{\circ}$. Если оба смежных угла, $\alpha$ и $\beta$, являются прямыми, то $\alpha = 90^{\circ}$ и $\beta = 90^{\circ}$. Найдем их сумму: $90^{\circ} + 90^{\circ} = 180^{\circ}$. Полученная сумма в точности равна $180^{\circ}$, что соответствует свойству смежных углов. Такая ситуация возможна, например, при пересечении двух перпендикулярных прямых.

Ответ: да, могут.