Номер 1.50, страница 30 - гдз по геометрии 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.50. Найдите смежные углы, если:

1) один из них на $30^{\circ}$ больше другого;

2) их разность равна $40^{\circ}$;

3) один из них в 3 раза меньше другого;

4) они равны.

Смежные углы — это два угла, которые имеют общую сторону, а две другие их стороны лежат на одной прямой, образуя развернутый угол. Сумма смежных углов всегда равна $180^\circ$. Обозначим искомые углы как $\alpha$ и $\beta$. Таким образом, для решения всех пунктов задачи будем использовать уравнение $\alpha + \beta = 180^\circ$.

1) По условию, один из углов на $30^\circ$ больше другого. Пусть $\alpha = \beta + 30^\circ$.

Составим систему уравнений:

$\left\{ \begin{array}{l} \alpha + \beta = 180^\circ \\ \alpha = \beta + 30^\circ \end{array} \right.$

Подставим второе уравнение в первое:

$(\beta + 30^\circ) + \beta = 180^\circ$

$2\beta + 30^\circ = 180^\circ$

$2\beta = 180^\circ - 30^\circ$

$2\beta = 150^\circ$

$\beta = \frac{150^\circ}{2} = 75^\circ$

Теперь найдем второй угол:

$\alpha = 75^\circ + 30^\circ = 105^\circ$

Ответ: $75^\circ$ и $105^\circ$.

2) По условию, разность углов равна $40^\circ$. Пусть $\alpha > \beta$, тогда $\alpha - \beta = 40^\circ$.

Составим систему уравнений:

$\left\{ \begin{array}{l} \alpha + \beta = 180^\circ \\ \alpha - \beta = 40^\circ \end{array} \right.$

Сложим оба уравнения системы:

$(\alpha + \beta) + (\alpha - \beta) = 180^\circ + 40^\circ$

$2\alpha = 220^\circ$

$\alpha = \frac{220^\circ}{2} = 110^\circ$

Подставим найденное значение $\alpha$ в первое уравнение, чтобы найти $\beta$:

$110^\circ + \beta = 180^\circ$

$\beta = 180^\circ - 110^\circ = 70^\circ$

Ответ: $70^\circ$ и $110^\circ$.

3) По условию, один из углов в 3 раза меньше другого. Это означает, что больший угол в 3 раза больше меньшего. Пусть $\alpha = 3\beta$.

Составим систему уравнений:

$\left\{ \begin{array}{l} \alpha + \beta = 180^\circ \\ \alpha = 3\beta \end{array} \right.$

Подставим второе уравнение в первое:

$3\beta + \beta = 180^\circ$

$4\beta = 180^\circ$

$\beta = \frac{180^\circ}{4} = 45^\circ$

Теперь найдем второй угол:

$\alpha = 3 \cdot 45^\circ = 135^\circ$

Ответ: $45^\circ$ и $135^\circ$.

4) По условию, углы равны: $\alpha = \beta$.

Составим систему уравнений:

$\left\{ \begin{array}{l} \alpha + \beta = 180^\circ \\ \alpha = \beta \end{array} \right.$

Подставим второе уравнение в первое:

$\alpha + \alpha = 180^\circ$

$2\alpha = 180^\circ$

$\alpha = \frac{180^\circ}{2} = 90^\circ$

Поскольку углы равны, $\beta = \alpha = 90^\circ$. Такие смежные углы называются прямыми.

Ответ: $90^\circ$ и $90^\circ$.