Номер 1.53, страница 30 - гдз по геометрии 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.53. На рисунке 1.37 $\angle AOB = 50^\circ$, $\angle FOE = 70^\circ$. Найдите углы $\angle AOC,$ $\angle BOD,$ $\angle COE \text{ и }$ $\angle COD$.

Рис. 1.37

На рисунке изображены три прямые AD, BE и CF, пересекающиеся в точке O. Это означает, что углы, расположенные друг напротив друга при пересечении двух прямых, являются вертикальными и равны между собой, а углы, образующие прямую линию, являются смежными, и их сумма равна $180^{\circ}$.

AOC

Угол $ \angle AOC $ состоит из двух смежных углов: $ \angle AOB $ и $ \angle BOC $. Чтобы найти его величину, нужно сложить величины этих углов: $ \angle AOC = \angle AOB + \angle BOC $.

Из условия задачи нам дано, что $ \angle AOB = 50^{\circ} $.

Углы $ \angle BOC $ и $ \angle FOE $ являются вертикальными, так как они образованы при пересечении прямых BE и CF. Свойство вертикальных углов заключается в их равенстве.

Следовательно, $ \angle BOC = \angle FOE = 70^{\circ} $.

Теперь мы можем вычислить $ \angle AOC $:

$ \angle AOC = \angle AOB + \angle BOC = 50^{\circ} + 70^{\circ} = 120^{\circ} $.

Ответ: $ \angle AOC = 120^{\circ} $.

BOD

Углы $ \angle BOD $ и $ \angle AOE $ являются вертикальными, так как они образованы пересечением прямых AD и BE. Таким образом, $ \angle BOD = \angle AOE $.

Для нахождения $ \angle AOE $ воспользуемся тем, что углы $ \angle AOE $ и $ \angle AOB $ являются смежными, поскольку вместе они образуют развернутый угол на прямой BE. Сумма смежных углов равна $ 180^{\circ} $.

$ \angle AOE + \angle AOB = 180^{\circ} $.

Подставим известное значение $ \angle AOB = 50^{\circ} $:

$ \angle AOE + 50^{\circ} = 180^{\circ} $.

Отсюда находим $ \angle AOE $:

$ \angle AOE = 180^{\circ} - 50^{\circ} = 130^{\circ} $.

Так как $ \angle BOD = \angle AOE $, то $ \angle BOD = 130^{\circ} $.

Ответ: $ \angle BOD = 130^{\circ} $.

COE

Угол $ \angle COE $ можно найти несколькими способами. Один из них — представить его как сумму углов $ \angle COD + \angle DOE $. Другой — использовать свойство вертикальных углов. Угол $ \angle COE $ является вертикальным к углу $ \angle FOB $.

$ \angle COE = \angle FOB $.

Угол $ \angle FOB $ в свою очередь является суммой углов $ \angle FOA $ и $ \angle AOB $.

Сначала найдем $ \angle FOA $ (или $ \angle AOF $). Углы $ \angle AOF $, $ \angle FOE $ и $ \angle EOD $ вместе лежат на прямой AD, образуя развернутый угол в $ 180^{\circ} $.

$ \angle AOF + \angle FOE + \angle EOD = 180^{\circ} $.

Угол $ \angle EOD $ является вертикальным к углу $ \angle AOB $, поэтому $ \angle EOD = \angle AOB = 50^{\circ} $. Нам известно, что $ \angle FOE = 70^{\circ} $.

$ \angle AOF + 70^{\circ} + 50^{\circ} = 180^{\circ} $.

$ \angle AOF + 120^{\circ} = 180^{\circ} $.

$ \angle AOF = 180^{\circ} - 120^{\circ} = 60^{\circ} $.

Теперь найдем $ \angle FOB $:

$ \angle FOB = \angle FOA + \angle AOB = 60^{\circ} + 50^{\circ} = 110^{\circ} $.

Поскольку $ \angle COE = \angle FOB $, то $ \angle COE = 110^{\circ} $.

Ответ: $ \angle COE = 110^{\circ} $.

COD

Углы $ \angle COD $ и $ \angle AOF $ являются вертикальными, так как они образованы при пересечении прямых AD и CF. Следовательно, $ \angle COD = \angle AOF $.

При решении предыдущего пункта мы уже вычислили величину угла $ \angle AOF $.

Мы исходили из того, что углы $ \angle AOF, \angle FOE, \angle EOD $ в сумме дают $ 180^{\circ} $:

$ \angle AOF + 70^{\circ} + 50^{\circ} = 180^{\circ} $.

Отсюда мы получили, что $ \angle AOF = 60^{\circ} $.

Поскольку $ \angle COD = \angle AOF $, то $ \angle COD = 60^{\circ} $.

Ответ: $ \angle COD = 60^{\circ} $.