Номер 1.58, страница 31 - гдз по геометрии 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.58. Докажите, что если три из четырех углов, образованных при пересечении двух прямых, равны между собой, то эти прямые перпендикулярны.

Пусть две прямые, назовем их a и b, пересекаются в точке O. При этом образуются четыре угла, которые мы обозначим как $ \angle 1, \angle 2, \angle 3, \angle 4 $ в порядке их расположения вокруг точки пересечения O.

При пересечении двух прямых образуются пары смежных и вертикальных углов. Вспомним их свойства: 1. Вертикальные углы равны между собой (например, $ \angle 1 $ и $ \angle 3 $ являются вертикальными, значит $ \angle 1 = \angle 3 $). 2. Сумма смежных углов равна $180^\circ$ (например, $ \angle 1 $ и $ \angle 2 $ являются смежными, значит $ \angle 1 + \angle 2 = 180^\circ $).

По условию задачи, три из четырех образовавшихся углов равны. Важно отметить, что какую бы тройку углов мы ни выбрали, в ней всегда окажутся два смежных угла. Например, если мы выберем углы $ \angle 1, \angle 2, \angle 3 $, то углы $ \angle 1 $ и $ \angle 2 $ (а также $ \angle 2 $ и $ \angle 3 $) являются смежными.

Пусть, без потери общности, равными будут углы $ \angle 1, \angle 2 $ и $ \angle 3 $. То есть, $ \angle 1 = \angle 2 = \angle 3 $.

Рассмотрим смежные углы $ \angle 1 $ и $ \angle 2 $. Их сумма, как известно, составляет $180^\circ$: $ \angle 1 + \angle 2 = 180^\circ $

По нашему предположению, $ \angle 1 = \angle 2 $. Заменим в уравнении $ \angle 2 $ на $ \angle 1 $: $ \angle 1 + \angle 1 = 180^\circ $ $ 2 \cdot \angle 1 = 180^\circ $

Решив это уравнение, находим величину угла $ \angle 1 $: $ \angle 1 = \frac{180^\circ}{2} = 90^\circ $

Поскольку по условию $ \angle 1 = \angle 2 = \angle 3 $, то и $ \angle 2 = 90^\circ $, и $ \angle 3 = 90^\circ $.

Осталось найти четвертый угол, $ \angle 4 $. Он является вертикальным к углу $ \angle 2 $. Так как вертикальные углы равны, то $ \angle 4 = \angle 2 = 90^\circ $.

Таким образом, все четыре угла, образованные при пересечении прямых, равны $90^\circ$.

Две прямые, пересекающиеся под прямым углом ($90^\circ$), по определению называются перпендикулярными. Следовательно, прямые a и b перпендикулярны, что и требовалось доказать.

Ответ: Доказательство основано на том, что среди любых трех углов, образованных при пересечении двух прямых, всегда найдутся два смежных. По условию эти углы равны. Так как сумма смежных углов равна $180^\circ$, то каждый из этих равных углов должен быть равен $180^\circ / 2 = 90^\circ$. Если один из углов при пересечении прямых равен $90^\circ$, то все четыре угла равны $90^\circ$, а сами прямые, по определению, перпендикулярны.