Номер 1.64, страница 32 - гдз по геометрии 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.64. Найдите угол между биссектрисами смежных углов (рис. 1.39).

Рис. 1.39

Смежные углы — это два угла, у которых одна сторона общая, а две другие лежат на одной прямой, являясь продолжениями друг друга. Сумма смежных углов всегда равна $180^\circ$, так как вместе они образуют развернутый угол.

Пусть нам даны два смежных угла, $ \angle 1 $ и $ \angle 2 $. Исходя из определения, их сумма равна $180^\circ$:

$ \angle 1 + \angle 2 = 180^\circ $

Проведем биссектрисы для каждого из этих углов. Биссектриса — это луч, исходящий из вершины угла и делящий его на две равные части.

Биссектриса угла $ \angle 1 $ делит его на два угла, каждый из которых равен $ \frac{1}{2}\angle 1 $.

Биссектриса угла $ \angle 2 $ делит его на два угла, каждый из которых равен $ \frac{1}{2}\angle 2 $.

Угол между этими биссектрисами будет равен сумме двух соседних половин исходных углов. Обозначим искомый угол как $ \gamma $. Он складывается из половины первого угла и половины второго:

$ \gamma = \frac{1}{2}\angle 1 + \frac{1}{2}\angle 2 $

Вынесем общий множитель $ \frac{1}{2} $ за скобки:

$ \gamma = \frac{1}{2}(\angle 1 + \angle 2) $

Поскольку мы знаем, что сумма смежных углов $ \angle 1 + \angle 2 = 180^\circ $, мы можем подставить это значение в полученную формулу:

$ \gamma = \frac{1}{2} \cdot 180^\circ = 90^\circ $

Таким образом, угол между биссектрисами смежных углов всегда является прямым, то есть равен $90^\circ$. Это свойство не зависит от величин самих смежных углов.

На рисунке 1.39 изображена прямая $DB$ и смежные углы (например, $ \angle DOA $ и $ \angle AOB $). Лучи $OC$ и $OK$ показаны как биссектрисы этих углов. Соответственно, угол $ \angle COK $ между ними будет равен $90^\circ$.

Ответ: $90^\circ$.