Номер 1.69, страница 32 - гдз по геометрии 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.69. Докажите, что если луч исходит из вершины угла и образует с его сторонами равные острые углы, то он является биссектрисой этого угла.

Пусть дан угол, который мы обозначим как $ \angle AOB $, где $O$ — его вершина, а $OA$ и $OB$ — его стороны (лучи). Пусть из вершины $O$ исходит луч $OC$.

По условию задачи, луч $OC$ образует со сторонами угла $OA$ и $OB$ равные острые углы. Обозначим эти углы как $ \angle AOC $ и $ \angle BOC $. Таким образом, нам дано, что $ \angle AOC = \angle BOC $ и оба этих угла являются острыми, то есть $ \angle AOC < 90^\circ $ и $ \angle BOC < 90^\circ $.

Требуется доказать, что луч $OC$ является биссектрисой угла $ \angle AOB $.

Доказательство:

По определению, биссектриса угла — это луч, который исходит из вершины угла, проходит между его сторонами и делит угол на две равные части. Условие равенства углов ($ \angle AOC = \angle BOC $) дано в задаче. Таким образом, нам остается доказать, что луч $OC$ проходит между сторонами $OA$ и $OB$.

Воспользуемся методом доказательства от противного. Предположим, что луч $OC$ не проходит между сторонами $OA$ и $OB$. Тогда возможны два случая взаимного расположения лучей в плоскости:

Случай 1: Луч $OA$ проходит между лучами $OB$ и $OC$.

В этом случае, по аксиоме сложения углов, справедливо равенство: $ \angle BOC = \angle BOA + \angle AOC $. Поскольку по условию $ \angle AOC = \angle BOC $, мы можем подставить $ \angle AOC $ вместо $ \angle BOC $ в левой части равенства: $ \angle AOC = \angle BOA + \angle AOC $. Вычитая величину $ \angle AOC $ из обеих частей, получаем $ \angle BOA = 0^\circ $. Это означает, что лучи $OA$ и $OB$ совпадают и не образуют угол, что противоречит условию задачи.

Случай 2: Луч $OB$ проходит между лучами $OA$ и $OC$.

В этом случае, по аксиоме сложения углов, справедливо равенство: $ \angle AOC = \angle AOB + \angle BOC $. Используя данное в условии равенство $ \angle AOC = \angle BOC $, заменим $ \angle AOC $ в левой части: $ \angle BOC = \angle AOB + \angle BOC $. Это также приводит к выводу, что $ \angle AOB = 0^\circ $, что является противоречием.

Так как оба предположения о расположении луча $OC$ вне угла $ \angle AOB $ приводят к противоречию, наше исходное предположение неверно. Следовательно, луч $OC$ проходит между сторонами $OA$ и $OB$.

Итак, луч $OC$ исходит из вершины угла $ \angle AOB $, проходит между его сторонами и делит его на два равных угла. По определению, луч $OC$ является биссектрисой угла $ \angle AOB $. Условие остроты углов $ \angle AOC $ и $ \angle BOC $ гарантирует, что сам угол $ \angle AOB = \angle AOC + \angle BOC $ меньше $180^\circ$, что исключает неоднозначности с развернутыми и полными углами. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение, представленное в задаче, доказано.