Номер 1.70, страница 32 - гдз по геометрии 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.70. Докажите, что если биссектрисы углов $ABC$ и $CBD$ перпендикулярны, то точки $\text{A}$, $\text{B}$ и $\text{D}$ лежат на одной прямой.

Пусть луч $BM$ — биссектриса угла $ABC$, а луч $BN$ — биссектриса угла $CBD$.

По определению биссектрисы угла, она делит угол на два равных угла. Следовательно, мы можем записать:

$ \angle MBC = \frac{1}{2} \angle ABC $

$ \angle CBN = \frac{1}{2} \angle CBD $

По условию задачи, биссектрисы $BM$ и $BN$ перпендикулярны. Это означает, что угол между ними равен $90^\circ$.

$ \angle MBN = 90^\circ $

Угол $MBN$ состоит из двух углов $MBC$ и $CBN$, так как луч $BC$ проходит между лучами $BM$ и $BN$. Таким образом, мы можем записать:

$ \angle MBN = \angle MBC + \angle CBN = 90^\circ $

Теперь рассмотрим угол $ABD$. Он является суммой углов $ABC$ и $CBD$, так как они имеют общую сторону $BC$.

$ \angle ABD = \angle ABC + \angle CBD $

Используя соотношения для биссектрис, мы можем выразить $ \angle ABC $ и $ \angle CBD $ через их половины:

$ \angle ABC = 2 \cdot \angle MBC $

$ \angle CBD = 2 \cdot \angle CBN $

Подставим эти выражения в формулу для угла $ABD$:

$ \angle ABD = 2 \cdot \angle MBC + 2 \cdot \angle CBN $

Вынесем общий множитель 2 за скобки:

$ \angle ABD = 2 \cdot (\angle MBC + \angle CBN) $

Мы уже установили, что $ \angle MBC + \angle CBN = 90^\circ $. Подставим это значение в полученное уравнение:

$ \angle ABD = 2 \cdot 90^\circ = 180^\circ $

Угол, равный $180^\circ$, является развернутым. Это означает, что лучи $BA$ и $BD$ являются противоположными лучами и лежат на одной прямой. Следовательно, точки $A$, $B$ и $D$ лежат на одной прямой.

Ответ: Поскольку величина угла $ABD$ равна $180^\circ$, он является развернутым, и, следовательно, точки $A$, $B$ и $D$ лежат на одной прямой, что и требовалось доказать.