Номер 1.66, страница 32 - гдз по геометрии 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.66. Найдите угол между биссектрисой и продолжением одной из сторон угла, равного:

1) $50^{\circ}$;

2) $90^{\circ}$;

3) $150^{\circ}$.

1) Пусть данный угол, равный $50^\circ$, обозначен как $\angle AOB$. Таким образом, $\angle AOB = 50^\circ$.

Проведем биссектрису $OC$ этого угла. По определению биссектрисы, она делит угол пополам:

$\angle AOC = \angle BOC = \frac{\angle AOB}{2} = \frac{50^\circ}{2} = 25^\circ$.

Теперь рассмотрим продолжение одной из сторон угла, например, стороны $OA$. Обозначим это продолжение как луч $OD$. Лучи $OA$ и $OD$ лежат на одной прямой и образуют развернутый угол, равный $180^\circ$.

Нам нужно найти угол между биссектрисой $OC$ и продолжением стороны $OD$, то есть $\angle COD$.

Угол $\angle COD$ и угол $\angle AOC$ являются смежными, поскольку у них общая сторона $OC$, а две другие стороны, $OD$ и $OA$, являются дополнительными лучами (образуют прямую).

Сумма смежных углов равна $180^\circ$, поэтому:

$\angle COD + \angle AOC = 180^\circ$.

Выразим отсюда искомый угол $\angle COD$:

$\angle COD = 180^\circ - \angle AOC = 180^\circ - 25^\circ = 155^\circ$.

Этот результат не зависит от того, продолжение какой стороны мы рассматриваем.

Ответ: $155^\circ$.

2) Пусть данный угол, равный $90^\circ$, обозначен как $\angle AOB$. Таким образом, $\angle AOB = 90^\circ$.

Проведем биссектрису $OC$ этого угла. По определению биссектрисы:

$\angle AOC = \angle BOC = \frac{\angle AOB}{2} = \frac{90^\circ}{2} = 45^\circ$.

Рассмотрим продолжение стороны $OA$, которое обозначим как луч $OD$. Лучи $OA$ и $OD$ образуют прямую.

Искомый угол — это угол между биссектрисой $OC$ и продолжением стороны $OD$, то есть $\angle COD$.

Углы $\angle COD$ и $\angle AOC$ являются смежными, так как их сумма составляет развернутый угол, образованный прямой $AD$ и лучом $OC$.

Сумма смежных углов равна $180^\circ$:

$\angle COD + \angle AOC = 180^\circ$.

Найдем искомый угол:

$\angle COD = 180^\circ - \angle AOC = 180^\circ - 45^\circ = 135^\circ$.

Ответ: $135^\circ$.

3) Пусть данный угол, равный $150^\circ$, обозначен как $\angle AOB$. Таким образом, $\angle AOB = 150^\circ$.

Проведем биссектрису $OC$ этого угла. По определению биссектрисы:

$\angle AOC = \angle BOC = \frac{\angle AOB}{2} = \frac{150^\circ}{2} = 75^\circ$.

Рассмотрим продолжение стороны $OA$, которое обозначим как луч $OD$. Лучи $OA$ и $OD$ образуют прямую.

Искомый угол — это угол между биссектрисой $OC$ и продолжением стороны $OD$, то есть $\angle COD$.

Углы $\angle COD$ и $\angle AOC$ являются смежными, так как они имеют общую сторону $OC$ и вместе образуют развернутый угол.

Сумма смежных углов равна $180^\circ$:

$\angle COD + \angle AOC = 180^\circ$.

Найдем искомый угол:

$\angle COD = 180^\circ - \angle AOC = 180^\circ - 75^\circ = 105^\circ$.

Ответ: $105^\circ$.