Номер 1.65, страница 32 - гдз по геометрии 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.65. Докажите, что биссектрисы вертикальных углов лежат на одной прямой.

Пусть две прямые пересекаются в точке $O$. В результате пересечения образуются две пары вертикальных углов. Возьмем одну из этих пар: $∠AOC$ и $∠BOD$. Согласно свойству вертикальных углов, их величины равны:

$∠AOC = ∠BOD$.

Проведем луч $OM$, который является биссектрисой угла $∠AOC$. По определению биссектрисы, она делит угол на две равные части:

$∠AOM = ∠MOC = \frac{1}{2}∠AOC$.

Аналогично, проведем луч $ON$ — биссектрису вертикального ему угла $∠BOD$. Для него справедливо:

$∠BON = ∠NOD = \frac{1}{2}∠BOD$.

Чтобы доказать, что биссектрисы $OM$ и $ON$ лежат на одной прямой, нам нужно показать, что угол $∠MON$ является развернутым, то есть его градусная мера составляет $180^\circ$.

Угол $∠MON$ можно представить как сумму трех углов, расположенных последовательно один за другим: $∠MOC$, $∠COB$ и $∠BON$. Таким образом, мы можем записать:

$∠MON = ∠MOC + ∠COB + ∠BON$.

Углы $∠AOC$ и $∠COB$ являются смежными, так как вместе они образуют развернутый угол $∠AOB$, который представляет собой прямую линию. Сумма смежных углов всегда равна $180^\circ$. Следовательно:

$∠AOC + ∠COB = 180^\circ$, откуда $∠COB = 180^\circ - ∠AOC$.

Теперь подставим все известные нам выражения в формулу для угла $∠MON$:

$∠MON = (\frac{1}{2}∠AOC) + (180^\circ - ∠AOC) + (\frac{1}{2}∠BOD)$.

Поскольку $∠AOC = ∠BOD$, мы можем заменить $∠BOD$ на $∠AOC$ в правой части уравнения:

$∠MON = \frac{1}{2}∠AOC + 180^\circ - ∠AOC + \frac{1}{2}∠AOC$.

Сгруппируем и упростим слагаемые, содержащие $∠AOC$:

$∠MON = (\frac{1}{2}∠AOC + \frac{1}{2}∠AOC) - ∠AOC + 180^\circ$

$∠MON = ∠AOC - ∠AOC + 180^\circ$

$∠MON = 180^\circ$.

Поскольку угол $∠MON$ равен $180^\circ$, он является развернутым. Это по определению означает, что его стороны — лучи $OM$ и $ON$ — являются дополнительными друг к другу, то есть лежат на одной прямой. Что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано, что угол, образованный биссектрисами двух вертикальных углов, равен $180^\circ$, следовательно, эти биссектрисы лежат на одной прямой.