Номер 1.71, страница 32 - гдз по геометрии 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.71. Даны три луча a, b, c с общим началом. Известно, что $ \angle(ab) = \angle(ac) = \angle(bc) = 120^{\circ} $.

1) Проходит ли какой-либо из этих лучей между сторонами угла, образованного двумя другими лучами?

2) Может ли прямая, не проходящая через начало данных лучей, пересекать все три луча?

1) Пусть лучи $a$, $b$ и $c$ имеют общее начало в точке $O$. Условие того, что один из лучей, например луч $c$, проходит между сторонами угла, образованного двумя другими лучами ($a$ и $b$), заключается в выполнении аксиомы сложения углов: $\angle(ac) + \angle(cb) = \angle(ab)$.

Проверим это условие, подставив данные из задачи: $\angle(ab) = 120^\circ$, $\angle(ac) = 120^\circ$, $\angle(bc) = 120^\circ$.

Предположим, что луч $c$ проходит между лучами $a$ и $b$. Тогда должно быть верно равенство:

$\angle(ac) + \angle(cb) = \angle(ab)$

$120^\circ + 120^\circ = 120^\circ$

$240^\circ = 120^\circ$

Это равенство неверно. Следовательно, луч $c$ не проходит между сторонами угла $\angle(ab)$.

Аналогично, если предположить, что луч $a$ проходит между лучами $b$ и $c$, то $\angle(ba) + \angle(ac) = \angle(bc)$, что также приводит к неверному равенству $240^\circ = 120^\circ$.

Если предположить, что луч $b$ проходит между лучами $a$ и $c$, то $\angle(ab) + \angle(bc) = \angle(ac)$, что снова приводит к $240^\circ = 120^\circ$.

Сумма всех трех углов вокруг точки $O$ составляет $120^\circ + 120^\circ + 120^\circ = 360^\circ$. Это означает, что лучи лежат в одной плоскости и делят ее на три равных сектора. Ни один из лучей не попадает во внутренний (в данном случае $120^\circ$) угол, образованный двумя другими, а наоборот, всегда лежит в их внешнем (рефлексном) угле, равном $360^\circ - 120^\circ = 240^\circ$.

Ответ: Нет, ни один из лучей не проходит между сторонами угла (равного $120^\circ$), образованного двумя другими лучами.

2) Сначала заметим, что три данных луча лежат в одной плоскости. Это следует из того, что сумма углов между ними составляет $120^\circ + 120^\circ + 120^\circ = 360^\circ$, что является полным углом на плоскости вокруг их общего начала $O$.

Теперь предположим, что существует прямая $l$, которая не проходит через начало $O$, но пересекает все три луча $a, b, c$. Обозначим точки пересечения $A, B$ и $C$ соответственно.

Поскольку точки $A, B$ и $C$ лежат на прямой $l$, они коллинеарны. Это значит, что одна из этих точек лежит на отрезке, соединяющем две другие. Без ограничения общности, пусть точка $B$ лежит между точками $A$ и $C$.

Рассмотрим треугольник $\triangle OAC$. Его вершины — это общее начало лучей $O$, точка $A$ на луче $a$ и точка $C$ на луче $c$. По нашему предположению, точка $B$ (которая лежит на луче $b$) находится на отрезке $AC$, который является стороной этого треугольника.

Тот факт, что луч $b$, исходящий из вершины $O$, пересекает противолежащую сторону $AC$ в точке $B$, означает, что луч $b$ проходит внутри угла $\angle AOC$, то есть между лучами $a$ и $c$.

Но, как мы установили в пункте 1), для того чтобы луч $b$ проходил между лучами $a$ и $c$, должно выполняться равенство $\angle(ab) + \angle(bc) = \angle(ac)$.

Подставив значения из условия, мы снова получаем противоречие: $120^\circ + 120^\circ = 120^\circ$, или $240^\circ = 120^\circ$.

Это противоречие доказывает, что наше исходное предположение о существовании такой прямой $l$ неверно. Выбор другой точки в качестве средней (например, $A$ между $B$ и $C$) привел бы к аналогичному противоречию.

Ответ: Нет, такая прямая не может пересекать все три луча.