Номер 1.55, страница 31 - гдз по геометрии 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.55. На рисунке 1.38 луч $\text{OV}$ является биссектрисой угла $ZOY$, а луч $\text{OU}$ — биссектрисой угла $XOY$. Найдите $ \angle XOZ $, если $ \angle UOV = 80^\circ $.

Рис. 1.38

По условию задачи луч OV является биссектрисой угла ZOY. Биссектриса делит угол на две равные части, следовательно: $∠ZOV = ∠VOY$. Отсюда можно выразить величину угла ZOY: $∠ZOY = 2 \cdot ∠VOY$.

Аналогично, луч OU является биссектрисой угла XOY. Это означает, что: $∠XOU = ∠UOY$. Отсюда можно выразить величину угла XOY: $∠XOY = 2 \cdot ∠UOY$.

Угол XOZ, который нам нужно найти, состоит из суммы углов ZOY и XOY: $∠XOZ = ∠ZOY + ∠XOY$.

Подставим в это равенство выражения для углов $∠ZOY$ и $∠XOY$: $∠XOZ = (2 \cdot ∠VOY) + (2 \cdot ∠UOY)$.

Вынесем общий множитель 2 за скобки: $∠XOZ = 2 \cdot (∠VOY + ∠UOY)$.

Из рисунка и условия задачи мы знаем, что сумма углов VOY и UOY образует угол UOV, который равен 80°: $∠VOY + ∠UOY = ∠UOV = 80°$.

Теперь подставим известное значение суммы углов в нашу формулу: $∠XOZ = 2 \cdot 80° = 160°$.

Ответ: $160°$.