Номер 1.54, страница 30 - гдз по геометрии 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.54. Докажите, что если при пересечении двух прямых один из углов — прямой, то остальные три угла также являются прямыми.

Пусть даны две прямые, которые пересекаются и образуют четыре угла. Обозначим их по порядку $\angle 1$, $\angle 2$, $\angle 3$ и $\angle 4$. При такой нумерации $\angle 1$ и $\angle 3$ являются вертикальными, также как и $\angle 2$ и $\angle 4$. Пары углов ($\angle 1$, $\angle 2$), ($\angle 2$, $\angle 3$), ($\angle 3$, $\angle 4$) и ($\angle 4$, $\angle 1$) являются смежными.

Согласно условию задачи, один из углов — прямой. Пусть это будет $\angle 1$, тогда его величина составляет $90^\circ$.

Рассмотрим угол $\angle 3$. Он является вертикальным к $\angle 1$. По свойству вертикальных углов, они равны. Отсюда следует, что $\angle 3 = \angle 1 = 90^\circ$.

Теперь рассмотрим угол $\angle 2$. Он является смежным с углом $\angle 1$. Сумма смежных углов равна $180^\circ$. Таким образом, $\angle 1 + \angle 2 = 180^\circ$. Подставим известное значение $\angle 1$: $90^\circ + \angle 2 = 180^\circ$. Из этого уравнения находим $\angle 2$: $\angle 2 = 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ$.

Осталось найти угол $\angle 4$. Угол $\angle 4$ является вертикальным к углу $\angle 2$. Следовательно, они равны: $\angle 4 = \angle 2 = 90^\circ$. Также можно было рассмотреть $\angle 4$ как смежный с $\angle 1$ (или $\angle 3$), что также дало бы результат $90^\circ$.

Таким образом, мы установили, что если один из углов ($\angle 1$) равен $90^\circ$, то и остальные три угла ($\angle 2$, $\angle 3$, $\angle 4$) также равны $90^\circ$. Все четыре угла являются прямыми. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Если один из углов, образованных при пересечении двух прямых, является прямым ($90^\circ$), то и остальные три угла являются прямыми. Это следует из свойств смежных и вертикальных углов: угол, вертикальный данному, равен ему ($90^\circ$), а углы, смежные с данным, равны $180^\circ - 90^\circ = 90^\circ$.