Вопросы, страница 29 - гдз по геометрии 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1. Какие углы называются смежными?

2. Докажите, что сумма смежных углов равна $180^\circ$.

3. Докажите, что если два угла равны, то смежные с ними углы также равны.

4. Какие углы называются прямыми, острыми, тупыми?

5. Докажите, что угол, смежный с прямым, тоже прямой.

6. Какие углы называются вертикальными?

7. Докажите, что вертикальные углы равны.

8. Какие прямые называются перпендикулярными? Как обозначается перпендикулярность прямых?

9. Какой отрезок называется перпендикуляром, проведенным из точки к прямой?

10. Дайте определение биссектрисы угла.

11. Каков смысл метода доказательства от противного?

1. Какие углы называются смежными?

Два угла называются смежными, если у них одна сторона общая, а две другие стороны являются дополнительными лучами, то есть лежат на одной прямой и направлены в разные стороны от общей вершины. Иными словами, смежные углы дополняют друг друга до развернутого угла ($180^\circ$).

Ответ: Смежными называются два угла, у которых одна сторона общая, а две другие являются продолжениями друг друга.

2. Докажите, что сумма смежных углов равна 180°.

Пусть даны два смежных угла, $\angle AOC$ и $\angle COB$. У них общая сторона $OC$, а стороны $OA$ и $OB$ являются дополнительными лучами. Это означает, что лучи $OA$ и $OB$ вместе образуют прямую линию $AB$.

Угол, образованный прямой линией, называется развернутым углом, и его градусная мера равна $180^\circ$. Таким образом, $\angle AOB = 180^\circ$.

Луч $OC$ проходит между сторонами развернутого угла $\angle AOB$ и делит его на два угла: $\angle AOC$ и $\angle COB$. По аксиоме измерения углов, градусная мера всего угла равна сумме градусных мер углов, на которые он разбивается любым лучом, проходящим между его сторонами. Следовательно, $\angle AOC + \angle COB = \angle AOB$.

Подставляя значение развернутого угла, получаем: $\angle AOC + \angle COB = 180^\circ$. Что и требовалось доказать.

Ответ: Так как несмежные стороны смежных углов образуют прямую, они вместе составляют развернутый угол, величина которого равна $180^\circ$.

3. Докажите, что если два угла равны, то смежные с ними углы также равны.

Пусть даны два равных угла: $\angle 1 = \angle 2$.

Пусть $\angle 3$ — угол, смежный с $\angle 1$, а $\angle 4$ — угол, смежный с $\angle 2$.

По свойству смежных углов, их сумма равна $180^\circ$. Таким образом, мы можем записать два равенства:

$\angle 1 + \angle 3 = 180^\circ$

$\angle 2 + \angle 4 = 180^\circ$

Выразим из этих равенств углы $\angle 3$ и $\angle 4$:

$\angle 3 = 180^\circ - \angle 1$

$\angle 4 = 180^\circ - \angle 2$

По условию $\angle 1 = \angle 2$. Следовательно, правые части этих выражений равны: $180^\circ - \angle 1 = 180^\circ - \angle 2$.

Из этого следует, что и левые части равны: $\angle 3 = \angle 4$. Что и требовалось доказать.

Ответ: Если $\angle 1 = \angle 2$, то смежные с ними углы $\angle 3 = 180^\circ - \angle 1$ и $\angle 4 = 180^\circ - \angle 2$ также равны.

4. Какие углы называются прямыми, острыми, тупыми?

Классификация углов по их градусной мере:

• Прямой угол — это угол, градусная мера которого равна $90^\circ$.
• Острый угол — это угол, градусная мера которого меньше $90^\circ$ (но больше $0^\circ$).
• Тупой угол — это угол, градусная мера которого больше $90^\circ$, но меньше $180^\circ$.

Ответ: Прямой угол равен $90^\circ$, острый — меньше $90^\circ$, тупой — больше $90^\circ$ и меньше $180^\circ$.

5. Докажите, что угол, смежный с прямым, тоже прямой.

Пусть дан прямой угол $\angle 1$, то есть его мера равна $90^\circ$.

Пусть $\angle 2$ — угол, смежный с $\angle 1$.

Сумма смежных углов равна $180^\circ$, следовательно, $\angle 1 + \angle 2 = 180^\circ$.

Подставим известную величину $\angle 1$ в уравнение:

$90^\circ + \angle 2 = 180^\circ$

Выразим $\angle 2$:

$\angle 2 = 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ$.

Так как градусная мера угла $\angle 2$ равна $90^\circ$, он является прямым углом. Что и требовалось доказать.

Ответ: Если один из смежных углов равен $90^\circ$, то второй равен $180^\circ - 90^\circ = 90^\circ$, то есть он тоже прямой.

6. Какие углы называются вертикальными?

Вертикальными называются два угла, которые образуются при пересечении двух прямых, и при этом стороны одного угла являются продолжениями сторон другого. Такие углы не имеют общих сторон и расположены "напротив" друг друга в точке пересечения прямых.

Ответ: Вертикальные углы — это пара углов, у которых стороны одного являются продолжениями сторон другого.

7. Докажите, что вертикальные углы равны.

Пусть при пересечении двух прямых образовались две пары вертикальных углов: ($\angle 1, \angle 3$) и ($\angle 2, \angle 4$).

Рассмотрим угол $\angle 1$. Угол $\angle 2$ является смежным с ним, так как вместе они образуют развернутый угол. Следовательно, $\angle 1 + \angle 2 = 180^\circ$.

Теперь рассмотрим угол $\angle 3$. Угол $\angle 2$ также является смежным и для него. Следовательно, $\angle 3 + \angle 2 = 180^\circ$.

Мы получили два выражения, равные $180^\circ$. Приравняем их друг к другу:

$\angle 1 + \angle 2 = \angle 3 + \angle 2$

Вычтем из обеих частей равенства величину угла $\angle 2$:

$\angle 1 = \angle 3$

Аналогично доказывается равенство углов $\angle 2$ и $\angle 4$, рассматривая их смежность с углом $\angle 1$ (или $\angle 3$). Что и требовалось доказать.

Ответ: Каждый из пары вертикальных углов дополняет один и тот же смежный с ними угол до $180^\circ$, следовательно, они равны между собой.

8. Какие прямые называются перпендикулярными? Как обозначается перпендикулярность прямых?

Две пересекающиеся прямые называются перпендикулярными (или взаимно перпендикулярными), если они образуют четыре прямых угла (по $90^\circ$). Достаточно, чтобы один из углов при их пересечении был прямым, так как смежные и вертикальные с ним углы также будут прямыми.

Для обозначения перпендикулярности прямых $a$ и $b$ используется специальный символ $\perp$. Запись $a \perp b$ читается как "прямая $a$ перпендикулярна прямой $b$".

Ответ: Перпендикулярные прямые — это прямые, пересекающиеся под прямым углом ($90^\circ$). Перпендикулярность обозначается знаком $\perp$.

9. Какой отрезок называется перпендикуляром, проведенным из точки к прямой?

Перпендикуляром, проведенным из данной точки к данной прямой, называется отрезок, соединяющий эту точку с точкой на прямой и лежащий на прямой, перпендикулярной данной. Конец этого отрезка, лежащий на прямой, называется основанием перпендикуляра. Длина этого отрезка является кратчайшим расстоянием от точки до прямой.

Ответ: Перпендикуляр — это отрезок, проведенный из точки к прямой, который перпендикулярен этой прямой.

10. Дайте определение биссектрисы угла.

Биссектрисой угла называется луч, который исходит из вершины угла, проходит между его сторонами и делит угол на два равных по величине угла.

Ответ: Биссектриса угла — это луч, выходящий из вершины угла и делящий его пополам.

11. Каков смысл метода доказательства от противного?

Метод доказательства от противного (reductio ad absurdum) — это вид косвенного доказательства. Его суть заключается в следующем:

1. Чтобы доказать некоторое утверждение (назовем его A), мы временно предполагаем, что верно обратное ему утверждение (не A).
2. На основе этого предположения, используя логические рассуждения, аксиомы и ранее доказанные теоремы, мы выводим следствие.
3. Если это следствие приводит к противоречию (например, нарушает аксиому, противоречит условию задачи или ранее доказанной теореме, или приводит к утверждению вида "B и не B одновременно"), то это означает, что наше первоначальное предположение (не A) было ложным.
4. Поскольку предположение "не A" ложно, по закону исключённого третьего, исходное утверждение "A" должно быть истинным.

Ответ: Смысл метода в том, чтобы предположить обратное доказываемому утверждению, прийти к логическому противоречию и на этом основании сделать вывод об истинности исходного утверждения.