Номер 2.29, страница 44 - гдз по геометрии 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

2.29. Отрезки равной длины $\text{AB}$ и $\text{CD}$ пересекаются в точке O так, что $AO = OC$. Докажите, что $\angle ABC = \angle ADC$ и $\angle BAD = \angle BCD$.

Для решения задачи воспользуемся признаками равенства треугольников. Из условия, что отрезки `$AB$` и `$CD$` пересекаются в точке `$O$`, следует, что точка `$O$` лежит на обоих отрезках. Это означает, что точки `$A, O, B$` лежат на одной прямой, и точки `$C, O, D$` также лежат на одной прямой.

Нам дано, что отрезки `$AB$` и `$CD$` имеют равную длину, то есть `$AB = CD$`. Также дано, что `$AO = OC$`. Длину отрезка `$AB$` можно представить как сумму длин его частей: `$AB = AO + OB$`. Аналогично для отрезка `$CD$`: `$CD = CO + OD$`. Так как `$AB = CD$` и `$AO = OC$`, мы можем записать равенство: `$AO + OB = CO + OD$` `$OC + OB = OC + OD$` Вычитая `$OC$` из обеих частей равенства, получаем: `$OB = OD$`

Теперь рассмотрим треугольники `$ΔAOD$` и `$ΔCOB$`.

1. `$AO = CO$` (по условию).

2. `$OD = OB$` (как доказано выше).

3. `$∠AOD = ∠COB$` (как вертикальные углы).

Следовательно, треугольник `$ΔAOD$` равен треугольнику `$ΔCOB$` по двум сторонам и углу между ними (первый признак равенства треугольников). Из равенства этих треугольников следует равенство их соответствующих углов и сторон: `$∠OAD = ∠OCB$`, `$∠ODA = ∠OBC$` и `$AD = CB$`.

Докажите, что ∠ABC = ∠ADC

Угол `$∠ABC$` образован лучами `$BA$` и `$BC$`. Так как точки `$A, O, B$` лежат на одной прямой, луч `$BA$` совпадает с лучом `$BO$`, поэтому `$∠ABC = ∠OBC$`.

Угол `$∠ADC$` образован лучами `$DA$` и `$DC$`. Так как точки `$C, O, D$` лежат на одной прямой, луч `$DC$` совпадает с лучом `$DO$`, поэтому `$∠ADC = ∠ADO$` (или `$∠ODA$`).

Из доказанного ранее равенства треугольников `$ΔAOD ≅ ΔCOB$` следует, что `$∠OBC = ∠ODA$`.

Таким образом, мы имеем цепочку равенств: `$∠ABC = ∠OBC = ∠ODA = ∠ADC$`.

Следовательно, `$∠ABC = ∠ADC$`, что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство `$∠ABC = ∠ADC$` доказано.

Докажите, что ∠BAD = ∠BCD

Угол `$∠BAD$` образован лучами `$AB$` и `$AD$`. Так как точки `$A, O, B$` лежат на одной прямой, луч `$AB$` совпадает с лучом `$AO$`, поэтому `$∠BAD = ∠OAD$`.

Угол `$∠BCD$` образован лучами `$CB$` и `$CD$`. Так как точки `$C, O, D$` лежат на одной прямой, луч `$CD$` совпадает с лучом `$CO$`, поэтому `$∠BCD = ∠BCO$` (или `$∠OCB$`).

Из доказанного ранее равенства треугольников `$ΔAOD ≅ ΔCOB$` следует, что `$∠OAD = ∠OCB$`.

Таким образом, мы имеем цепочку равенств: `$∠BAD = ∠OAD = ∠OCB = ∠BCD$`.

Следовательно, `$∠BAD = ∠BCD$`, что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство `$∠BAD = ∠BCD$` доказано.