Номер 2.30, страница 44 - гдз по геометрии 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

2.30. 1) На рисунке 2.19 $ \angle DAC = \angle DBC $, $ AK = KB $. Докажите, что $ \angle DAB = \angle CBA $. 2) Точки C и D расположены по разные стороны от прямой AB так, что $ \angle ABC = \angle ABD $, $ BD = BC $. Докажите, что $ AB $ – биссектриса угла $ DAC $.

Рис. 2.19

1) Рассмотрим треугольник $ \triangle AKB $. По условию задачи дано, что $ AK = KB $. Это означает, что $ \triangle AKB $ является равнобедренным треугольником с основанием $AB$.

В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Следовательно, $ \angle KAB = \angle KBA $.

Заметим, что луч $AK$ является частью луча $AC$, а луч $BK$ — частью луча $BD$. Поэтому $ \angle KAB $ — это тот же угол, что и $ \angle CAB $, а $ \angle KBA $ — это тот же угол, что и $ \angle DBA $. Таким образом, мы можем записать равенство: $ \angle CAB = \angle DBA $.

Теперь рассмотрим углы $ \angle DAB $ и $ \angle CBA $. Их можно представить в виде суммы других углов:

$ \angle DAB = \angle DAC + \angle CAB $

$ \angle CBA = \angle CBD + \angle DBA $

Из условия задачи мы знаем, что $ \angle DAC = \angle DBC $.

Сложим почленно два равенства: $ \angle DAC = \angle DBC $ (из условия) и $ \angle CAB = \angle DBA $ (доказано нами ранее).

$ \angle DAC + \angle CAB = \angle DBC + \angle DBA $

Левая часть этого равенства представляет собой угол $ \angle DAB $, а правая часть — угол $ \angle CBA $. Таким образом, мы получаем:

$ \angle DAB = \angle CBA $

Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.

2) Чтобы доказать, что $AB$ является биссектрисой угла $ \angle DAC $, нам необходимо доказать, что луч $AB$ делит угол $ \angle DAC $ на два равных угла, то есть $ \angle DAB = \angle CAB $.

Рассмотрим треугольники $ \triangle ABC $ и $ \triangle ABD $.

Сравним эти два треугольника:

1. Сторона $AB$ у них общая.

2. По условию задачи, $ BC = BD $.

3. Также по условию, $ \angle ABC = \angle ABD $.

Таким образом, треугольник $ \triangle ABC $ равен треугольнику $ \triangle ABD $ по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними).

Из равенства треугольников ($ \triangle ABC \cong \triangle ABD $) следует равенство их соответствующих элементов. В частности, равны углы, лежащие напротив равных сторон. Угол $ \angle CAB $ лежит напротив стороны $BC$ в $ \triangle ABC $, а угол $ \angle DAB $ лежит напротив стороны $BD$ в $ \triangle ABD $. Поскольку стороны $BC$ и $BD$ равны, то и противолежащие им углы также равны:

$ \angle CAB = \angle DAB $

Так как луч $AB$ делит угол $ \angle DAC $ на два равных угла, по определению он является биссектрисой этого угла.

Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.