Практические задания, страница 50 - гдз по геометрии 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1. Начертите остроугольный, прямоугольный и тупоугольный треугольники. С помощью линейки отметьте середины сторон и проведите медианы.

2. Постройте остроугольный, прямоугольный и тупоугольный треугольники. С помощью транспортира и линейки проведите биссектрисы каждого угла.

3. Начертите треугольник $ABC$ с тремя острыми углами, треугольник $MNP$ с тупым углом при вершине $\text{M}$ и треугольник $KNP$ с прямым углом при вершине $\text{N}$. С помощью угольника проведите высоты каждого треугольника.

4. Начертите три равнобедренных треугольника так, чтобы угол, лежащий против основания, был: 1) острым; 2) прямым; 3) тупым.

1. Начертите остроугольный, прямоугольный и тупоугольный треугольники. С помощью линейки отметьте середины сторон и проведите медианы.

Медиана треугольника — это отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны. В любом треугольнике три медианы, и все они пересекаются в одной точке (центре тяжести треугольника).

Порядок построения для каждого типа треугольника:

1. Начертить треугольник заданного типа (остроугольный, прямоугольный или тупоугольный).

2. С помощью линейки измерить длину каждой из трех сторон.

3. Вычислить половину длины каждой стороны (длина / 2), чтобы найти её середину.

4. Отметить точки-середины на каждой стороне.

5. Соединить каждую вершину треугольника с отмеченной серединой противоположной ей стороны. Полученные отрезки и будут медианами.

Для остроугольного треугольника (все углы меньше $90^\circ$): все три медианы будут расположены внутри треугольника и пересекутся в одной точке внутри него.

Для прямоугольного треугольника (один угол равен $90^\circ$): все три медианы также будут расположены внутри треугольника и пересекутся в одной точке внутри него. Медиана, проведенная к гипотенузе, равна половине ее длины.

Для тупоугольного треугольника (один угол больше $90^\circ$): как и в предыдущих случаях, все три медианы полностью лежат внутри треугольника и пересекаются в одной точке.

Ответ: Для построения медиан в любом треугольнике необходимо с помощью линейки найти середины его сторон и соединить их отрезками с противолежащими вершинами. Во всех трех типах треугольников (остроугольном, прямоугольном и тупоугольном) все три медианы пересекаются в одной точке, которая всегда находится внутри треугольника.

2. Постройте остроугольный, прямоугольный и тупоугольный треугольники. С помощью транспортира и линейки проведите биссектрисы каждого угла.

Биссектриса угла треугольника — это отрезок, который делит этот угол на два равных угла и соединяет вершину угла с точкой на противоположной стороне. В любом треугольнике три биссектрисы, и они пересекаются в одной точке.

Порядок построения для каждого типа треугольника:

1. Начертить треугольник заданного типа.

2. С помощью транспортира измерить градусную меру каждого из трех углов.

3. Вычислить половину градусной меры каждого угла (градусная мера / 2).

4. От каждой вершины с помощью транспортира отложить вычисленный половинный угол внутрь треугольника и провести луч до пересечения с противоположной стороной. Полученные отрезки будут биссектрисами.

Для остроугольного, прямоугольного и тупоугольного треугольников алгоритм построения одинаков. Во всех случаях все три биссектрисы будут полностью находиться внутри треугольника и пересекутся в одной точке. Эта точка является центром вписанной в треугольник окружности.

Ответ: Для построения биссектрис в любом треугольнике необходимо с помощью транспортира измерить каждый угол, разделить его значение на два и провести из вершины отрезок под этим углом до пересечения с противоположной стороной. Во всех трех типах треугольников (остроугольном, прямоугольном и тупоугольном) все три биссектрисы пересекаются в одной точке, которая всегда находится внутри треугольника.

3. Начертите треугольник АВС с тремя острыми углами, треугольник MNP с тупым углом при вершине М и треугольник KNP с прямым углом при вершине N. С помощью угольника проведите высоты каждого треугольника.

Высота треугольника — это перпендикуляр, опущенный из вершины треугольника на прямую, содержащую противоположную сторону. В любом треугольнике три высоты (или их продолжения) пересекаются в одной точке (ортоцентре).

Порядок построения с помощью угольника:

1. Начертить треугольник.

2. Чтобы провести высоту, нужно приложить один катет угольника к прямой, содержащей сторону треугольника.

3. Двигать угольник вдоль этой прямой, пока другой его катет не пройдет через противолежащую вершину.

4. Провести отрезок по второму катету от вершины до прямой. Это и будет высота.

Треугольник АВС (остроугольный):

Все три высоты будут проведены к сторонам треугольника (а не к их продолжениям) и будут полностью лежать внутри него. Точка пересечения высот также будет находиться внутри треугольника.

Треугольник MNP (тупой угол при М):

- Высота из вершины M на сторону NP будет лежать внутри треугольника.

- Высота из вершины N на сторону MP. Так как угол M тупой, перпендикуляр из N упадет не на сам отрезок MP, а на его продолжение за точку M. Нужно продлить сторону MP и опустить на эту прямую перпендикуляр из N.

- Высота из вершины P на сторону MN. Аналогично, нужно продлить сторону MN за точку M и опустить на эту прямую перпендикуляр из P.

Точка пересечения трех высот (их продолжений) будет находиться вне треугольника.

Треугольник KNP (прямой угол при N):

- Высота из вершины N на гипотенузу KP проводится обычным способом и лежит внутри треугольника.

- Высота из вершины K на противоположную сторону NP. Так как $\angle KNP = 90^\circ$, сторона KN уже перпендикулярна стороне NP. Следовательно, катет KN является высотой.

- Высота из вершины P на противоположную сторону KN. Аналогично, катет PN является высотой.

Все три высоты пересекаются в одной точке — в вершине прямого угла N.

Ответ: В остроугольном треугольнике все высоты лежат внутри, и точка их пересечения тоже внутри. В тупоугольном треугольнике одна высота лежит внутри, а две — снаружи, на продолжениях сторон; точка пересечения высот (их продолжений) находится вне треугольника. В прямоугольном треугольнике две высоты совпадают с его катетами, а третья проведена к гипотенузе; точка пересечения высот совпадает с вершиной прямого угла.

4. Начертите три равнобедренных треугольника так, чтобы угол, лежащий против основания, был: 1) острым; 2) прямым; 3) тупым.

Равнобедренный треугольник — это треугольник, у которого две стороны (боковые) равны. Углы при основании такого треугольника также равны. Пусть $\alpha$ — угол при вершине (против основания), а $\beta$ — углы при основании. Для любого треугольника сумма углов равна $180^\circ$, поэтому $\alpha + 2\beta = 180^\circ$.

1) острым

Угол при вершине должен быть острым: $\alpha < 90^\circ$. Выберем, например, $\alpha = 50^\circ$. Тогда углы при основании будут равны $\beta = (180^\circ - 50^\circ) / 2 = 65^\circ$. Все углы ($50^\circ, 65^\circ, 65^\circ$) острые. Построение: Начертить угол $50^\circ$. От его вершины на сторонах угла отложить два равных отрезка (боковые стороны). Соединить концы этих отрезков, получив основание.

2) прямым

Угол при вершине должен быть прямым: $\alpha = 90^\circ$. Это будет прямоугольный равнобедренный треугольник. Углы при основании равны $\beta = (180^\circ - 90^\circ) / 2 = 45^\circ$. Углы треугольника: $90^\circ, 45^\circ, 45^\circ$. Построение: Начертить прямой угол. От его вершины на сторонах угла отложить два равных отрезка. Соединить их концы.

3) тупым

Угол при вершине должен быть тупым: $\alpha > 90^\circ$. Выберем, например, $\alpha = 120^\circ$. Тогда углы при основании будут равны $\beta = (180^\circ - 120^\circ) / 2 = 30^\circ$. Углы треугольника: $120^\circ, 30^\circ, 30^\circ$. Построение: Начертить тупой угол $120^\circ$. От его вершины на сторонах угла отложить два равных отрезка. Соединить их концы.

Ответ:

1) Равнобедренный треугольник с острым углом при вершине можно построить с углами, например, $50^\circ, 65^\circ, 65^\circ$.

2) Равнобедренный треугольник с прямым углом при вершине будет иметь углы $90^\circ, 45^\circ, 45^\circ$.

3) Равнобедренный треугольник с тупым углом при вершине можно построить с углами, например, $120^\circ, 30^\circ, 30^\circ$.

Для построения каждого из них нужно начертить заданный угол при вершине, отложить на его сторонах равные отрезки (боковые стороны) и соединить их концы (основание).