Номер 2.31, страница 44 - гдз по геометрии 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

2.31. 1) На рисунке 2.20 $\angle HKM = \angle MNH$, $KO = ON$. Докажите, что $\angle HKN = \angle KNM$. 2) Точки M и E расположены по разные стороны от прямой OP, при этом $OM = PE$ и $\angle MPO = \angle POE$. Докажите, что $\angle MOE = \angle EPM$ и $\Delta MPE = \Delta EOM$.

Рис. 2.20

1) Рассмотрим треугольники $\triangle HOK$ и $\triangle MON$.

1. $\angle HOK = \angle MON$ как вертикальные углы.

2. По условию дано, что $KO = ON$.

3. Точка $O$ является точкой пересечения отрезков $KM$ и $HN$. Следовательно, точка $O$ лежит на отрезке $KM$, поэтому угол $\angle HKM$ совпадает с углом $\angle HKO$. Аналогично, точка $O$ лежит на отрезке $HN$, поэтому угол $\angle MNH$ совпадает с углом $\angle MNO$. Таким образом, из условия $\angle HKM = \angle MNH$ следует, что $\angle HKO = \angle MNO$.

Рассмотрим $\triangle HOK$ и $\triangle MON$. У них есть пара равных сторон ($KO = ON$) и две пары равных прилежащих углов, но в разной конфигурации ($\angle HOK = \angle MON$ и $\angle HKO = \angle MNO$). Сторона $KO$ в $\triangle HOK$ не является стороной, лежащей между углами $\angle HOK$ и $\angle HKO$. Однако, сумма углов треугольника равна $180^\circ$, поэтому если два угла одного треугольника равны двум углам другого, то и третьи углы равны. Из $\angle HOK = \angle MON$ и $\angle HKO = \angle MNO$ следует, что $\angle KHO = \angle NMO$.

Теперь мы можем доказать равенство треугольников $\triangle HOK$ и $\triangle MON$ по второму признаку (по стороне и двум прилежащим к ней углам, ASA), используя сторону $KO$ и $ON$. Но углы $\angle HOK$ и $\angle KHO$ не прилежат к стороне $KO$. Используем признак равенства по стороне и двум углам (AAS).

В $\triangle HOK$ и $\triangle MON$:

- $\angle HKO = \angle MNO$ (по доказанному выше)

- $\angle HOK = \angle MON$ (вертикальные углы)

- $KO = ON$ (по условию)

Следовательно, $\triangle HOK \cong \triangle MON$ по второму признаку равенства треугольников (по стороне и двум углам, в данном случае AAS - Angle-Angle-Side).

Из равенства этих треугольников следует равенство их соответствующих сторон: $HK = MN$ и $HO = MO$.

Теперь рассмотрим треугольники $\triangle HKN$ и $\triangle MNK$.

1. $HK = MN$ (доказано выше).

2. $KN$ - общая сторона.

3. $HN = HO + ON$. $MK = MO + OK$. Так как $HO = MO$ (доказано) и $ON = OK$ (по условию), то $HN = MK$.

Таким образом, три стороны треугольника $\triangle HKN$ равны трём соответствующим сторонам треугольника $\triangle MNK$. По третьему признаку равенства треугольников (SSS), $\triangle HKN \cong \triangle MNK$.

Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих углов. Угол $\angle HKN$ в $\triangle HKN$ лежит против стороны $HN$. Угол $\angle KNM$ в $\triangle MNK$ лежит против стороны $MK$. Так как $HN = MK$, то противолежащие им углы равны: $\angle HKN = \angle KNM$.

Ответ: Что и требовалось доказать.

2) Докажем, что $\triangle MPE \cong \triangle EOM$. Если мы это докажем, то равенство углов $\angle MOE = \angle EPM$ будет следовать из равенства треугольников как равенство соответствующих углов.

Рассмотрим поворот на $180^\circ$ вокруг точки $K$ - середины отрезка $OP$. При таком повороте точка $O$ переходит в точку $P$, а точка $P$ переходит в точку $O$. Пусть образом точки $E$ при этом повороте будет точка $M'$.

Тогда $\triangle POE$ переходит в $\triangle OPM'$, и, следовательно, $\triangle POE \cong \triangle OPM'$.

Из этого равенства треугольников следует равенство соответствующих сторон и углов:

1) $PE = OM'$;

2) $OE = PM'$;

3) $\angle POE = \angle OPM'$.

Теперь воспользуемся условиями задачи.

Из условия $\angle MPO = \angle POE$ и доказанного равенства $\angle POE = \angle OPM'$ следует, что $\angle MPO = \angle OPM'$. Точки $M$ и $E$ расположены по разные стороны от прямой $OP$. При повороте на $180^\circ$ вокруг точки на прямой $OP$ точка $E$ перейдет в точку $M'$, которая лежит по ту же сторону от $OP$, что и точка $M$. Равенство углов $\angle MPO = \angle OPM'$ означает, что лучи $PM$ и $PM'$ совпадают. Таким образом, точка $M'$ лежит на луче $PM$.

Из условия $OM = PE$ и доказанного равенства $PE = OM'$ следует, что $OM = OM'$.

Итак, мы имеем две точки $M$ и $M'$, которые лежат на одном луче с началом в точке $P$ и находятся на одинаковом расстоянии от точки $O$. Это возможно только если точки $M$ и $M'$ совпадают: $M = M'$.

Поскольку $M = M'$, то конгруэнтность $\triangle POE \cong \triangle OPM'$ означает, что $\triangle POE \cong \triangle OPM$.

Из этой конгруэнтности следует равенство других соответсвующих сторон: $MP = OE$.

Теперь мы готовы доказать основное утверждение: $\triangle MPE \cong \triangle EOM$. Сравним эти два треугольника:

1. $MP = EO$ (доказано выше как $MP = OE$).

2. $PE = OM$ (дано по условию).

3. $ME = EM$ (общая сторона).

Следовательно, по третьему признаку равенства треугольников (по трём сторонам, SSS), $\triangle MPE \cong \triangle EOM$.

Из равенства треугольников следует и равенство их соответствующих углов. Углу $\angle MPE$ в треугольнике $\triangle MPE$ соответствует угол $\angle EOM$ в треугольнике $\triangle EOM$. Таким образом, $\angle MPE = \angle EOM$, что можно записать как $\angle MOE = \angle EPM$.

Ответ: Что и требовалось доказать.