Номер 2.25, страница 43 - гдз по геометрии 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

2.25. Через концы отрезка $\text{AB}$ проведены параллельные прямые $\text{AC}$ и $\text{BD}$ так, что $\angle ABD = \angle BAC$. Через середину $\text{O}$ отрезка $\text{AB}$ проведена прямая, пересекающая эти прямые в точках $\text{C}$ и $\text{D}$. Найдите длину $\text{AC}$, если $BD = 8$ см.

Рассмотрим треугольники $\triangle AOC$ и $\triangle BOD$.

По условию задачи, точка $O$ является серединой отрезка $AB$, следовательно, длины отрезков $AO$ и $BO$ равны: $AO = BO$.

По условию, прямые $AC$ и $BD$ параллельны ($AC \parallel BD$). Прямая $AB$ является секущей для этих параллельных прямых. Углы $\angle OAC$ (он же $\angle BAC$) и $\angle OBD$ (он же $\angle ABD$) являются накрест лежащими углами при параллельных прямых и секущей. Следовательно, эти углы равны: $\angle OAC = \angle OBD$.

Углы $\angle AOC$ и $\angle BOD$ образованы пересечением прямых $AB$ и $CD$. Они являются вертикальными, и по свойству вертикальных углов равны между собой: $\angle AOC = \angle BOD$.

Таким образом, мы имеем два треугольника, $\triangle AOC$ и $\triangle BOD$, у которых сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника равны соответственно стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника:

$AO = BO$ (по условию)

$\angle OAC = \angle OBD$ (как накрест лежащие)

$\angle AOC = \angle BOD$ (как вертикальные)

Следовательно, треугольники $\triangle AOC$ и $\triangle BOD$ равны по второму признаку равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим к ней углам). То есть, $\triangle AOC \cong \triangle BOD$.

Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих сторон. Сторона $AC$ в треугольнике $\triangle AOC$ лежит против угла $\angle AOC$, а сторона $BD$ в треугольнике $\triangle BOD$ лежит против равного ему угла $\angle BOD$. Значит, стороны $AC$ и $BD$ являются соответствующими и их длины равны: $AC = BD$.

По условию задачи дано, что $BD = 8$ см. Отсюда следует, что $AC = 8$ см.

Ответ: 8 см.