Номер 2.18, страница 42 - гдз по геометрии 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

2.18. 1) На рисунке 2.13 $FO = OL$, $\angle EOF = \angle LOK$. Докажите, что $EF = KL$. 2) На рисунке 2.14 $\angle BAC = \angle DAC$, $\angle ACB = \angle ACD$. Докажите, что $AB = AD$.

Рис. 2.13

Рис. 2.14

1) Рассмотрим треугольники $EOF$ и $LOK$. По условию и согласно отметкам на рисунке, нам дано, что $FO = OL$ и $\angle EFO = \angle KLO$. Углы $\angle EOF$ и $\angle LOK$ равны, так как они являются вертикальными. Таким образом, в треугольниках $EOF$ и $LOK$ сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника ($FO = OL$, $\angle EFO = \angle KLO$, $\angle FOE = \angle LOK$).

Следовательно, $\triangle EOF \cong \triangle LOK$ по второму признаку равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим к ней углам).

Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих сторон. Сторона $EF$ лежит напротив угла $\angle EOF$, а сторона $KL$ — напротив угла $\angle LOK$. Так как $\angle EOF = \angle LOK$, то и $EF = KL$.

Ответ: Доказано, что $EF = KL$.

2) Рассмотрим треугольники $ABC$ и $ADC$. По условию $\angle BAC = \angle DAC$ и $\angle ACB = \angle ACD$. Сторона $AC$ является общей для этих двух треугольников. Таким образом, в треугольниках $ABC$ и $ADC$ сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника ($AC$ — общая, $\angle BAC = \angle DAC$, $\angle ACB = \angle ACD$).

Следовательно, $\triangle ABC \cong \triangle ADC$ по второму признаку равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим к ней углам).

Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих сторон. Сторона $AB$ лежит напротив угла $\angle ACB$, а сторона $AD$ — напротив угла $\angle ACD$. Так как по условию $\angle ACB = \angle ACD$, то и соответсвующие им стороны равны: $AB = AD$.

Ответ: Доказано, что $AB = AD$.