Вопросы, страница 41 - гдз по геометрии 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1. Сформулируйте и докажите I признак равенства треугольников. Какие аксиомы используются при доказательстве этой теоремы?

2. Сформулируйте и докажите II признак равенства треугольников.

3. Периметр одного из двух треугольников больше периметра другого. Могут ли эти треугольники быть равными?

1. Теорема (Первый признак равенства треугольников): Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.

Доказательство:

Рассмотрим два треугольника, $\triangle ABC$ и $\triangle A_1B_1C_1$, у которых по условию:

$AB = A_1B_1$

$AC = A_1C_1$

$\angle A = \angle A_1$

Докажем, что $\triangle ABC = \triangle A_1B_1C_1$.

Для доказательства используем метод наложения. Наложим $\triangle ABC$ на $\triangle A_1B_1C_1$ так, чтобы вершина $A$ совпала с вершиной $A_1$, а сторона $AB$ пошла по лучу $A_1B_1$. Поскольку $AB = A_1B_1$, то вершина $B$ совпадет с вершиной $B_1$.

Так как $\angle A = \angle A_1$, то луч $AC$ совпадет с лучом $A_1C_1$. Поскольку $AC = A_1C_1$, то вершина $C$ совпадет с вершиной $C_1$.

Таким образом, три вершины треугольника $\triangle ABC$ совпали с тремя соответствующими вершинами треугольника $\triangle A_1B_1C_1$. Следовательно, стороны $BC$ и $B_1C_1$ также совпадут. Треугольники полностью совпали при наложении, а значит, они равны. Теорема доказана.

Аксиомы, используемые при доказательстве:

Доказательство методом наложения опирается на следующие основные положения (аксиомы) геометрии:

1. Аксиома существования треугольника, равного данному. На любой полуплоскости от заданного луча можно построить треугольник, равный данному.

2. Аксиома откладывания отрезков. На любом луче от его начальной точки можно отложить отрезок заданной длины, и притом только один.

3. Аксиома откладывания углов. От любого луча в заданную полуплоскость можно отложить угол с заданной градусной мерой, меньшей 180°, и притом только один.

4. Аксиома прямой. Через любые две точки проходит прямая, и притом только одна. (Эта аксиома неявно используется, когда мы заключаем, что совпадение вершин $B$ и $C$ с $B_1$ и $C_1$ влечет совпадение отрезков $BC$ и $B_1C_1$).

Само понятие наложения можно считать интуитивным представлением аксиомы движения, согласно которой любую фигуру можно переместить в пространстве без изменения ее формы и размеров.

Ответ: Первый признак равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними): если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны. При доказательстве используются аксиомы откладывания отрезков, откладывания углов и аксиома прямой, а также основное свойство равенства фигур (возможность совмещения наложением).

2. Теорема (Второй признак равенства треугольников): Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Доказательство:

Рассмотрим два треугольника, $\triangle ABC$ и $\triangle A_1B_1C_1$, у которых по условию:

$AB = A_1B_1$

$\angle A = \angle A_1$

$\angle B = \angle B_1$

Докажем, что $\triangle ABC = \triangle A_1B_1C_1$.

Наложим $\triangle ABC$ на $\triangle A_1B_1C_1$ так, чтобы сторона $AB$ совпала с равной ей стороной $A_1B_1$ (вершина $A$ совместится с $A_1$, а вершина $B$ с $B_1$).

Поскольку $\angle A = \angle A_1$, то луч $AC$ пойдет по лучу $A_1C_1$.

Поскольку $\angle B = \angle B_1$, то луч $BC$ пойдет по лучу $B_1C_1$.

Вершина $C$ является точкой пересечения лучей $AC$ и $BC$. Вершина $C_1$ является точкой пересечения лучей $A_1C_1$ и $B_1C_1$. Так как лучи совпали, то их точки пересечения также должны совпасть. Следовательно, вершина $C$ совпадет с вершиной $C_1$.

Таким образом, все три вершины $\triangle ABC$ совпали с соответствующими вершинами $\triangle A_1B_1C_1$. Значит, треугольники полностью совпали, и $\triangle ABC = \triangle A_1B_1C_1$. Теорема доказана.

Ответ: Второй признак равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим углам): если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны.

3. Равные треугольники — это треугольники, которые можно совместить наложением. При этом совместятся все их соответствующие элементы: вершины, стороны и углы.

Если $\triangle ABC = \triangle A_1B_1C_1$, то по определению равенства треугольников их соответствующие стороны равны:

$AB = A_1B_1$

$BC = B_1C_1$

$AC = A_1C_1$

Периметр треугольника — это сумма длин всех его сторон. Обозначим периметры как $P$ и $P_1$:

$P = AB + BC + AC$

$P_1 = A_1B_1 + B_1C_1 + A_1C_1$

Так как правые части этих равенств состоят из попарно равных слагаемых, то и сами суммы равны: $P = P_1$.

Следовательно, у равных треугольников периметры всегда равны. Если же периметр одного треугольника больше периметра другого, это прямо противоречит свойству равных треугольников.

Ответ: Нет, не могут. У равных треугольников соответствующие стороны равны, поэтому и суммы длин сторон (периметры) также должны быть равны.