Номер 2.12, страница 39 - гдз по геометрии 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

2.12. $\Delta ABC = \Delta B_1 A_1 C_1$, $\angle B_1 = 15^\circ$, $B_1 C_1 = 5$ м.1) Найдите $\text{AC}$ и угол $A_1$. 2) Может ли периметр треугольника $\Delta B_1 A_1 C_1$ быть больше, чем $2A_1 B_1 + AC$, если в треугольнике $ABC$ стороны $\text{AB}$ и $\text{BC}$ равны?

1) Найдите AC и угол A₁.

По условию, треугольники $ABC$ и $B₁A₁C₁$ равны ($ΔABC = ΔB₁A₁C₁$). Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих элементов. Соответствие вершин следующее: $A \leftrightarrow B₁$, $B \leftrightarrow A₁$, $C \leftrightarrow C₁$.

Следовательно, равны соответствующие стороны и углы:

$AC = B₁C₁$

$AB = B₁A₁$

$BC = A₁C₁$

$∠A = ∠B₁$

$∠B = ∠A₁$

$∠C = ∠C₁$

Нам дано, что $B₁C₁ = 5$ м. Так как $AC = B₁C₁$, то $AC = 5$ м.

Нам дано, что $∠B₁ = 15°$. Так как $∠A = ∠B₁$, то $∠A = 15°$.

Чтобы найти угол $A₁$, нужно найти угол $B$, поскольку из равенства треугольников $∠A₁ = ∠B$. Для нахождения угла $B$ воспользуемся условием из второго пункта задачи, что в треугольнике $ABC$ стороны $AB$ и $BC$ равны. Это означает, что треугольник $ABC$ — равнобедренный с основанием $AC$.

В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, поэтому $∠C = ∠A$. Так как $∠A = 15°$, то и $∠C = 15°$.

Сумма углов в любом треугольнике равна $180°$. Для треугольника $ABC$ имеем:

$∠A + ∠B + ∠C = 180°$

$15° + ∠B + 15° = 180°$

$∠B + 30° = 180°$

$∠B = 180° - 30° = 150°$

Поскольку $∠A₁ = ∠B$, то $∠A₁ = 150°$.

Ответ: $AC = 5$ м, $∠A₁ = 150°$.

2) Может ли периметр треугольника B₁A₁C₁ быть больше, чем 2A₁B₁ + AC, если в треугольнике ABC стороны AB и BC равны?

Периметр треугольника $B₁A₁C₁$ равен сумме длин его сторон: $P_{B₁A₁C₁} = B₁A₁ + A₁C₁ + B₁C₁$.

Нам нужно проверить, может ли выполняться неравенство:

$P_{B₁A₁C₁} > 2A₁B₁ + AC$

$B₁A₁ + A₁C₁ + B₁C₁ > 2A₁B₁ + AC$

Используем равенства сторон, следующие из того, что $ΔABC = ΔB₁A₁C₁$:

$B₁A₁ = AB$

$A₁C₁ = BC$

$B₁C₁ = AC$

Подставим эти выражения в наше неравенство:

$AB + BC + AC > 2AB + AC$

Теперь упростим неравенство. Вычтем из обеих частей $AC$:

$AB + BC > 2AB$

Вычтем из обеих частей $AB$:

$BC > AB$

Таким образом, вопрос сводится к следующему: может ли сторона $BC$ быть больше стороны $AB$? Однако, по условию этого пункта, в треугольнике $ABC$ стороны $AB$ и $BC$ равны, то есть $AB = BC$.

Равенство $AB = BC$ противоречит неравенству $BC > AB$. Следовательно, периметр треугольника $B₁A₁C₁$ не может быть больше, чем $2A₁B₁ + AC$. При данном условии он будет ему в точности равен: $P_{B₁A₁C₁} = AB+BC+AC = AB+AB+AC = 2AB+AC = 2A₁B₁+AC$.

Ответ: Нет, не может.