Номер 2.17, страница 42 - гдз по геометрии 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

2.17. 1) На рисунке 2.11 $\angle 1 = \angle 2$, $DC = CE$. Докажите, что $BC = AC$.

2) На рисунке 2.12 $\triangle ADB = \triangle CBD$. Докажите, что $AB = CD$ и $BC = AD$.

Рис. 2.11

Рис. 2.12

1) Рассмотрим треугольники $\triangle ADC$ и $\triangle EBC$.

По условию задачи нам дано:

1. $\angle 1 = \angle 2$, что означает $\angle ADC = \angle BEC$.

2. $DC = CE$.

Кроме того, углы $\angle ACD$ и $\angle BCE$ являются вертикальными, следовательно, они равны: $\angle ACD = \angle BCE$.

Таким образом, мы имеем два треугольника, у которых равны одна сторона и два угла (один прилежащий к этой стороне, другой — противолежащий). Сравниваем $\triangle ADC$ и $\triangle EBC$:

• $DC = CE$ (по условию)
• $\angle ADC = \angle BEC$ (по условию)
• $\angle ACD = \angle BCE$ (как вертикальные углы)

Треугольники $\triangle ADC$ и $\triangle EBC$ равны по признаку равенства треугольников по стороне и двум углам (AAS).

Из равенства треугольников следует равенство их соответственных сторон. Сторона $AC$ в $\triangle ADC$ лежит напротив угла $\angle ADC$. Сторона $BC$ в $\triangle EBC$ лежит напротив угла $\angle BEC$. Поскольку $\angle ADC = \angle BEC$, то и соответственные стороны, лежащие напротив этих углов, равны.

Следовательно, $AC = BC$, что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство $BC = AC$ доказано.

2) Рассмотрим треугольники $\triangle ADB$ и $\triangle CBD$.

По условию задачи дано, что $\angle ADB = \angle CBD$. Также в этих треугольниках сторона $BD$ является общей.

Чтобы доказать, что $AB = CD$ и $BC = AD$, необходимо доказать равенство треугольников $\triangle ADB$ и $\triangle CBD$. Однако, имеющихся данных (равенство одной пары углов и общая сторона) недостаточно для доказательства по какому-либо из признаков равенства треугольников. Вероятно, в условии задачи пропущено еще одно равенство, которое видно из стандартных задач такого типа. Чаще всего в таких задачах также дано, что $\angle ABD = \angle CDB$.

Предположим, что условие должно было быть полным: $\angle ADB = \angle CBD$ и $\angle ABD = \angle CDB$.

Тогда доказательство выглядит так:

Сравним $\triangle ADB$ и $\triangle CBD$:

• $\angle ADB = \angle CBD$ (по условию)
• $\angle ABD = \angle CDB$ (по нашему предположению, основанному на типичной постановке задачи)
• $BD$ — общая сторона.

Следовательно, $\triangle ADB = \triangle CBD$ по второму признаку равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим к ней углам, ASA).

Из равенства треугольников следует равенство их соответственных сторон. Порядок вершин в названии треугольников указывает на соответствие:

• Сторона $AB$ (соответствует вершинам A и B) в $\triangle ADB$ равна стороне $CD$ (соответствует вершинам C и D) в $\triangle CBD$.
• Сторона $AD$ (соответствует вершинам A и D) в $\triangle ADB$ равна стороне $CB$ (соответствует вершинам C и B) в $\triangle CBD$.

Таким образом, мы доказали, что $AB = CD$ и $AD = BC$, что и требовалось доказать.

Ответ: Равенства $AB = CD$ и $BC = AD$ доказаны при условии, что $\angle ABD = \angle CDB$.