Номер 2.22, страница 43 - гдз по геометрии 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

2.22. Отрезки AC и BD пересекаются и в точке пересечения делятся пополам. Докажите, что $\triangle ABC = \triangle CDA$.

Пусть отрезки $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $O$. По условию задачи, они делятся в точке пересечения пополам. Это означает, что $AO = OC$ и $BO = OD$.

Чтобы доказать равенство треугольников $\triangle ABC$ и $\triangle CDA$, мы воспользуемся третьим признаком равенства треугольников (по трем сторонам). Для этого необходимо показать, что три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого.

1. Сторона $AC$ является общей для треугольников $\triangle ABC$ и $\triangle CDA$.

2. Сравним стороны $AB$ и $CD$. Для этого рассмотрим треугольники $\triangle AOB$ и $\triangle COD$. У них:

- $AO = CO$ (по условию);

- $BO = DO$ (по условию);

- $\angle AOB = \angle COD$ (как вертикальные углы).

Следовательно, $\triangle AOB = \triangle COD$ по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними). Из равенства этих треугольников следует равенство их соответствующих сторон, то есть $AB = CD$.

3. Сравним стороны $BC$ и $DA$. Для этого рассмотрим треугольники $\triangle BOC$ и $\triangle DOA$. У них:

- $BO = DO$ (по условию);

- $CO = AO$ (по условию);

- $\angle BOC = \angle DOA$ (как вертикальные углы).

Следовательно, $\triangle BOC = \triangle DOA$ также по первому признаку равенства треугольников. Из этого следует, что $BC = DA$.

Таким образом, мы установили, что стороны треугольника $\triangle ABC$ соответственно равны сторонам треугольника $\triangle CDA$: $AB = CD$, $BC = DA$, и $AC$ — общая. По третьему признаку равенства треугольников (по трем сторонам), $\triangle ABC = \triangle CDA$. Что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство треугольников $\triangle ABC = \triangle CDA$ доказано.