Номер 2.27, страница 44 - гдз по геометрии 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

2.27. Отрезки равной длины $\text{AB}$ и $\text{CD}$ пересекаются в точке О так, что $AO = OD$. Докажите, что $\triangle ABC = \triangle DCB$.

По условию задачи дано, что отрезки $AB$ и $CD$ имеют равную длину, то есть $AB = CD$. Также известно, что они пересекаются в точке $O$, и при этом $AO = OD$.

Поскольку точка $O$ лежит на отрезках $AB$ и $CD$, мы можем записать их длины как суммы длин их частей: $AB = AO + OB$ и $CD = CO + OD$.

Так как по условию $AB = CD$, мы можем приравнять правые части этих выражений: $AO + OB = CO + OD$.

В этом равенстве, согласно условию, также верно, что $AO = OD$. Подставим это в предыдущее равенство: $AO + OB = CO + AO$.

Вычитая из обеих частей равенства отрезок $AO$, получаем, что $OB = CO$.

Теперь рассмотрим треугольники $\Delta AOC$ и $\Delta DOB$. В этих треугольниках: сторона $AO$ равна стороне $OD$ по условию; сторона $CO$ равна стороне $OB$, как было доказано выше; углы $\angle AOC$ и $\angle DOB$ равны как вертикальные. Следовательно, по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними), $\Delta AOC = \Delta DOB$.

Из равенства треугольников $\Delta AOC$ и $\Delta DOB$ следует равенство их соответствующих сторон, в частности, $AC = DB$.

Наконец, рассмотрим треугольники $\Delta ABC$ и $\Delta DCB$. Сравним их элементы. Во-первых, сторона $AB$ равна стороне $DC$ по условию задачи. Во-вторых, сторона $AC$ равна стороне $DB$, что было нами доказано. В-третьих, сторона $BC$ является общей для обоих треугольников.

Таким образом, все три стороны треугольника $\Delta ABC$ соответственно равны трем сторонам треугольника $\Delta DCB$. По третьему признаку равенства треугольников (по трем сторонам), мы можем заключить, что $\Delta ABC = \Delta DCB$. Что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство треугольников $\Delta ABC = \Delta DCB$ доказано.