Номер 2.24, страница 43 - гдз по геометрии 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

2.24. В треугольнике CAD отмечены точки В и Е так, что точка В лежит на отрезке АС, а точка Е на отрезке AD. Известно, что $ \angle ACD = \angle ADC $, $ AC = AD $ и $ AB = AE $. Докажите, что $ \angle CBD = \angle DEC $.

Рассмотрим треугольники $\triangle BCD$ и $\triangle EDC$. Докажем, что эти треугольники равны.

1. Из условия известно, что точка $B$ лежит на отрезке $AC$ и точка $E$ лежит на отрезке $AD$. Это значит, что длины отрезков можно выразить как $BC = AC - AB$ и $ED = AD - AE$.

Поскольку по условию задачи $AC = AD$ и $AB = AE$, мы можем заключить, что отрезки $BC$ и $ED$ равны: $BC = AC - AB = AD - AE = ED$. Итак, $BC = ED$.

2. По условию $\angle ACD = \angle ADC$. Так как точка $B$ лежит на луче $CA$ (являясь частью отрезка $AC$), а точка $E$ на луче $DA$ (являясь частью отрезка $AD$), то углы $\angle BCD$ и $\angle EDC$ совпадают с углами $\angle ACD$ и $\angle ADC$ соответственно. Отсюда следует, что $\angle BCD = \angle EDC$.

3. Сторона $CD$ является общей для треугольников $\triangle BCD$ и $\triangle EDC$.

Таким образом, мы имеем, что сторона $BC$ и сторона $CD$, и угол $\angle BCD$ между ними в треугольнике $\triangle BCD$ соответственно равны стороне $ED$, стороне $DC$ и углу $\angle EDC$ между ними в треугольнике $\triangle EDC$.

Следовательно, по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними), $\triangle BCD \cong \triangle EDC$.

Из равенства треугольников следует и равенство их соответственных углов. Углу $\angle CBD$ в треугольнике $\triangle BCD$ соответствует угол $\angle DEC$ в треугольнике $\triangle EDC$. Поэтому $\angle CBD = \angle DEC$.

Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.