Номер 2.23, страница 43 - гдз по геометрии 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

2.23. В треугольниках $ABC$ и $A_1B_1C_1$, $AB = A_1B_1$, $AC = A_1C_1$, $\angle A = \angle A_1$. На сторонах $\text{AB}$ и $A_1B_1$ отмечены точки $\text{P}$ и $P_1$, так, что $AP = A_1P_1$. Докажите, что $\triangle BPC = \triangle B_1P_1C_1$.

Для доказательства равенства треугольников $\triangle BPC$ и $\triangle B_1P_1C_1$ воспользуемся признаками равенства треугольников.

1. Сначала рассмотрим треугольники $\triangle ABC$ и $\triangle A_1B_1C_1$. По условию задачи нам даны следующие равенства:

- $AB = A_1B_1$

- $AC = A_1C_1$

- $\angle A = \angle A_1$

По первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними) следует, что $\triangle ABC = \triangle A_1B_1C_1$. Из этого равенства следует, что и другие соответствующие элементы этих треугольников равны. В частности, равны их третьи стороны и углы при основании:

- $BC = B_1C_1$

- $\angle ABC = \angle A_1B_1C_1$

2. Теперь рассмотрим треугольники $\triangle BPC$ и $\triangle B_1P_1C_1$, равенство которых нам нужно доказать. Проанализируем их стороны и углы:

- Стороны $BC$ и $B_1C_1$: Как мы установили в предыдущем пункте, $BC = B_1C_1$.

- Стороны $BP$ и $B_1P_1$: Точка $P$ лежит на стороне $AB$, поэтому длина отрезка $BP$ равна $AB - AP$. Аналогично, точка $P_1$ лежит на стороне $A_1B_1$, поэтому $B_1P_1 = A_1B_1 - A_1P_1$. Так как по условию $AB = A_1B_1$ и $AP = A_1P_1$, то, вычитая из равных отрезков равные отрезки, получаем, что $BP = B_1P_1$.

- Угол между этими сторонами: Угол $\angle PBC$ является частью угла $\angle ABC$ (фактически это тот же угол). Аналогично, $\angle P_1B_1C_1$ — это тот же угол, что и $\angle A_1B_1C_1$. Поскольку из пункта 1 мы знаем, что $\angle ABC = \angle A_1B_1C_1$, то и $\angle PBC = \angle P_1B_1C_1$.

Таким образом, в треугольниках $\triangle BPC$ и $\triangle B_1P_1C_1$ мы имеем: - $BP = B_1P_1$ - $BC = B_1C_1$ - $\angle PBC = \angle P_1B_1C_1$

Следовательно, по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними) $\triangle BPC = \triangle B_1P_1C_1$, что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство треугольников $\triangle BPC$ и $\triangle B_1P_1C_1$ доказано на основании первого признака равенства треугольников.