Номер 2.32, страница 44 - гдз по геометрии 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

2.32. Как на местности измерить расстояние В между пунктами А и В, если нельзя пройти между ними по прямой (рис. 2.21)? Используйте I и II признаки равенства треугольников.

Рис. 2.21

Для измерения расстояния между двумя точками A и B, когда между ними находится непреодолимое препятствие, можно использовать методы, основанные на признаках равенства треугольников.

Использование I признака равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними)

Этот метод заключается в построении треугольника, равного воображаемому треугольнику с вершинами в точках A, B и некоторой вспомогательной точке C.

1. Выберите на местности доступную точку C, из которой хорошо видны обе точки A и B.

2. Измерьте расстояния от точки C до точек A и B, то есть длины отрезков $AC$ и $BC$.

3. На продолжении прямой AC за точку C отложите отрезок $CD$, равный по длине отрезку $AC$. Точка D окажется на прямой, проходящей через A и C.

4. Аналогично, на продолжении прямой BC за точку C отложите отрезок $CE$, равный по длине отрезку $BC$.

5. Рассмотрим два треугольника: $△ABC$ и $△DEC$. В этих треугольниках стороны $AC = DC$ и $BC = EC$ по построению. Углы $∠ACB$ и $∠DCE$ равны, так как они являются вертикальными.

6. Таким образом, по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними), $△ABC$ конгруэнтен $△DEC$ ($△ABC ≅ △DEC$).

7. Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих сторон. Сторона $AB$ в $△ABC$ соответствует стороне $DE$ в $△DEC$. Следовательно, $AB = DE$.

8. Поскольку точки D и E были построены в доступной местности, расстояние между ними можно измерить рулеткой или другим измерительным прибором.

Ответ: Измеренное расстояние DE будет равно искомому расстоянию AB.

Использование II признака равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим к ней углам)

Этот метод также основан на построении равного треугольника, но использует другие измерения.

1. Выберите на местности какой-либо доступный для измерения отрезок, например, $CD$, так, чтобы из его концов были видны точки A и B. Однако более классический способ, напрямую использующий точки A и B, выглядит так: выберите доступную точку C, из которой видна точка A.

2. Измерьте расстояние $AC$. Этот отрезок будет служить основанием для построений.

3. С помощью угломерного инструмента (например, теодолита) измерьте два угла: угол $∠BAC$ (находясь в точке A) и угол $∠BCA$ (находясь в точке C).

4. Теперь на доступной местности постройте треугольник $△ADC$, равный треугольнику $△CBA$. Для этого от луча $CA$ отложите угол $∠ACD$, равный измеренному углу $∠BAC$.

5. Затем от луча $AC$ отложите угол $∠CAD$, равный измеренному углу $∠BCA$.

6. Точка $D$ будет точкой пересечения сторон построенных углов.

7. Рассмотрим треугольники $△CBA$ и $△ADC$. У них сторона $AC$ является общей ($AC$ в $△ADC$ и $CA$ в $△CBA$). По построению, $∠BAC = ∠ACD$ и $∠BCA = ∠CAD$.

8. Таким образом, по второму признаку равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим к ней углам), $△CBA$ конгруэнтен $△ADC$ ($△CBA ≅ △ADC$).

9. Из равенства треугольников следует, что их соответствующие стороны равны. Сторона $AB$ в $△CBA$ лежит напротив угла $∠BCA$. В равном ему треугольнике $△ADC$ напротив равного угла $∠CAD$ лежит сторона $DC$. Следовательно, $AB = DC$.

10. Расстояние $DC$ можно измерить напрямую, так как треугольник $△ADC$ был построен на доступном участке.

Ответ: Измеренное расстояние DC будет равно искомому расстоянию AB.