Номер 2.14, страница 42 - гдз по геометрии 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

2.14. Отрезки $\text{AE}$ и $\text{DC}$ пересекаются в точке $\text{B}$, являющейся серединой каждого из них. 1) Докажите, что $\triangle ABC = \triangle BED$. 2) Найдите $\angle A$ и $\angle C$ треугольника $ABC$, если в треугольнике $BDE$ $\angle D = 47^\circ$, $\angle E = 42^\circ$.

1) Рассмотрим треугольники $ΔABC$ и $ΔEBD$.

По условию задачи, точка $B$ является серединой отрезка $AE$. Это означает, что $AB = BE$.

Также по условию, точка $B$ является серединой отрезка $DC$. Это означает, что $BC = BD$.

Углы $∠ABC$ и $∠EBD$ являются вертикальными, поскольку они образованы при пересечении отрезков $AE$ и $DC$. Согласно свойству вертикальных углов, они равны: $∠ABC = ∠EBD$.

Таким образом, сторона $AB$ и сторона $BC$ и угол между ними $∠ABC$ треугольника $ABC$ соответственно равны стороне $BE$, стороне $BD$ и углу между ними $∠EBD$ треугольника $EBD$.

Следовательно, по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними), $ΔABC = ΔEBD$.

Ответ: Доказано.

2) Так как треугольники $ΔABC$ и $ΔEBD$ равны (доказано в пункте 1), то их соответственные углы также равны.

Углу $∠A$ треугольника $ABC$ соответствует угол $∠E$ треугольника $EBD$, следовательно, $∠A = ∠E$.

Углу $∠C$ треугольника $ABC$ соответствует угол $∠D$ треугольника $EBD$, следовательно, $∠C = ∠D$.

По условию задачи в треугольнике $BDE$ даны величины углов: $∠D = 47°$ и $∠E = 42°$.

Значит, искомые углы треугольника $ABC$ равны:

$∠A = ∠E = 42°$

$∠C = ∠D = 47°$

Ответ: $∠A = 42°$, $∠C = 47°$.