Номер 2.11, страница 39 - гдз по геометрии 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

2.11. Дан треугольник $ABC$. На стороне $\text{AC}$ взята точка $B_1$, а на стороне $\text{BC}$ – точка $A_1$. Докажите, что отрезки $AA_1$ и $BB_1$ пересекаются.

Для доказательства того, что отрезки $AA_1$ и $BB_1$ пересекаются, можно строго показать, что точка пересечения прямых, содержащих эти отрезки, лежит внутри каждого из этих отрезков. Наиболее наглядно это демонстрируется с помощью аксиомы Паша.

Доказательство с использованием аксиомы Паша

Аксиома Паша гласит: Если прямая, не проходящая ни через одну из вершин треугольника, пересекает одну из его сторон, то она пересекает ровно одну из двух других сторон. Мы применим эту аксиому дважды.

1. Докажем, что прямая $BB_1$ пересекает отрезок $AA_1$.

Рассмотрим треугольник $AA_1C$. Его стороны — это отрезки $AC$, $A_1C$ и $AA_1$. Теперь рассмотрим прямую, проходящую через точки $B$ и $B_1$ (обозначим ее $l_{BB_1}$). По условию, точка $B_1$ взята на стороне $AC$. Это означает, что прямая $l_{BB_1}$ пересекает сторону $AC$ треугольника $AA_1C$ в точке $B_1$. Будем считать, что точки $A_1$ и $B_1$ не совпадают с вершинами треугольника $ABC$, чтобы избежать вырожденных случаев (хотя утверждение верно и для них). Итак, прямая $l_{BB_1}$ пересекает одну сторону треугольника $AA_1C$. Согласно аксиоме Паша, она должна пересечь еще ровно одну его сторону: либо $A_1C$, либо $AA_1$. Выясним, пересекает ли прямая $l_{BB_1}$ сторону $A_1C$. Сторона $A_1C$ является частью прямой $BC$. Прямая $l_{BB_1}$ пересекает прямую $BC$ в точке $B$. Однако точка $B$ не лежит на отрезке $A_1C$, поскольку по условию точка $A_1$ лежит на стороне $BC$, то есть между $B$ и $C$. Следовательно, прямая $l_{BB_1}$ не пересекает сторону $A_1C$. Значит, она обязана пересекать другую сторону — $AA_1$.

2. Докажем, что прямая $AA_1$ пересекает отрезок $BB_1$.

Мы уже знаем, что прямые $AA_1$ и $BB_1$ пересекаются. Пусть их точка пересечения — $O$. Из пункта 1 мы знаем, что $O$ лежит на отрезке $AA_1$. Теперь, используя симметричные рассуждения, нужно показать, что $O$ лежит и на отрезке $BB_1$. Рассмотрим треугольник $BB_1C$ и прямую $l_{AA_1}$, проходящую через точки $A$ и $A_1$. Прямая $l_{AA_1}$ пересекает сторону $BC$ треугольника $BB_1C$ в точке $A_1$. По аксиоме Паша, прямая $l_{AA_1}$ должна пересечь еще одну сторону: либо $B_1C$, либо $BB_1$. Прямая $l_{AA_1}$ не может пересечь сторону $B_1C$. Эта сторона лежит на прямой $AC$. Прямая $l_{AA_1}$ пересекает прямую $AC$ в точке $A$. Но точка $A$ не лежит на отрезке $B_1C$, так как $B_1$ находится между $A$ и $C$. Следовательно, прямая $l_{AA_1}$ пересекает сторону $BB_1$.

Вывод

Мы установили, что точка пересечения $O$ прямых $AA_1$ и $BB_1$ принадлежит одновременно и отрезку $AA_1$ (из п.1), и отрезку $BB_1$ (из п.2). Это и означает, что отрезки $AA_1$ и $BB_1$ пересекаются в точке $O$.

Ответ: Утверждение доказано. Отрезки $AA_1$ и $BB_1$ пересекаются.