Номер 2.8, страница 39 - гдз по геометрии 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

2.8. Может ли прямая, не проходящая через вершины треугольника, пересекать каждую из его сторон? Обоснуйте ответ.

Нет, прямая, не проходящая через вершины треугольника, не может пересекать каждую из его сторон. Обоснуем это утверждение, используя аксиому о разбиении плоскости прямой.

Любая прямая $l$, лежащая в плоскости, делит эту плоскость на две открытые полуплоскости, которые мы можем обозначить как $\Pi_1$ и $\Pi_2$. Сама прямая $l$ не принадлежит ни одной из этих полуплоскостей и является их общей границей.

Пусть нам дан треугольник $ABC$ и прямая $l$, которая по условию не проходит ни через одну из его вершин $A$, $B$ или $C$. Это означает, что каждая из вершин треугольника находится либо в полуплоскости $\Pi_1$, либо в полуплоскости $\Pi_2$.

Для того чтобы прямая $l$ пересекла какую-либо сторону треугольника (которая является отрезком), необходимо и достаточно, чтобы концы этого отрезка (соответствующие вершины) лежали в разных полуплоскостях относительно прямой $l$.

Теперь предположим от противного: пусть прямая $l$ пересекает все три стороны треугольника: $AB$, $BC$ и $CA$.

1. Если прямая $l$ пересекает сторону $AB$, то это означает, что вершины $A$ и $B$ лежат в разных полуплоскостях. Без ограничения общности, пусть вершина $A$ лежит в $\Pi_1$, а вершина $B$ — в $\Pi_2$.

2. Если прямая $l$ пересекает сторону $BC$, то вершины $B$ и $C$ также должны лежать в разных полуплоскостях. Поскольку мы уже определили, что вершина $B$ лежит в $\Pi_2$, то для выполнения этого условия вершина $C$ должна лежать в $\Pi_1$.

3. Теперь проверим, может ли прямая $l$ пересечь третью сторону, $CA$. Мы выяснили, что вершина $C$ лежит в полуплоскости $\Pi_1$. Мы также изначально предположили, что вершина $A$ лежит в полуплоскости $\Pi_1$. Поскольку обе вершины $C$ и $A$ лежат в одной и той же полуплоскости ($\Pi_1$), отрезок $CA$ не может пересекать прямую $l$.

Мы пришли к противоречию. Наше предположение о том, что прямая может пересекать все три стороны треугольника, оказалось неверным. Если прямая пересекает две стороны ($AB$ и $BC$), то она не может пересечь третью ($CA$).

Таким образом, прямая, не проходящая через вершины треугольника, может пересечь либо две его стороны (если одна вершина находится в одной полуплоскости, а две другие — в другой), либо ни одной (если все три вершины находятся в одной полуплоскости), но никогда не может пересечь три стороны.

Ответ: Нет, не может.