Номер 7, страница 34 - гдз по геометрии 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

7. Дано: AK – биссектриса $ \angle CAB $, AE – биссектриса $ \angle KAB $, $ \angle CAE = 105^\circ $.

Найти: $ \angle CAB $

Согласно условию, луч $AK$ является биссектрисой угла $∠CAB$. По определению биссектрисы, она делит угол на две равные части, следовательно:

$∠CAK = ∠KAB$

$∠CAB = ∠CAK + ∠KAB = 2 \cdot ∠KAB$

Также по условию, луч $AE$ является биссектрисой угла $∠KAB$. Это означает, что:

$∠KAE = ∠EAB$

$∠KAB = ∠KAE + ∠EAB = 2 \cdot ∠KAE$

Из рисунка видно, что угол $∠CAE$ является суммой углов $∠CAK$ и $∠KAE$:

$∠CAE = ∠CAK + ∠KAE$

Мы можем выразить $∠CAK$ через $∠KAE$. Так как $∠CAK = ∠KAB$ и $∠KAB = 2 \cdot ∠KAE$, то $∠CAK = 2 \cdot ∠KAE$.

Теперь подставим это выражение в формулу для угла $∠CAE$, значение которого нам известно ($∠CAE = 105°$):

$105° = (2 \cdot ∠KAE) + ∠KAE$

$105° = 3 \cdot ∠KAE$

Отсюда находим величину угла $∠KAE$:

$∠KAE = 105° / 3 = 35°$

Теперь мы можем найти величину угла $∠KAB$:

$∠KAB = 2 \cdot ∠KAE = 2 \cdot 35° = 70°$

Наконец, найдем искомый угол $∠CAB$:

$∠CAB = 2 \cdot ∠KAB = 2 \cdot 70° = 140°$

Ответ: $140°$