Номер 7.10, страница 44 - гдз по геометрии 7 класс учебник Смирнов, Туяков

7.10. На клетчатой бумаге нарисуйте треугольник ABC (рис. 7.7) и изобразите его медианы.

Рис. 7.7

а) Медиана треугольника — это отрезок, который соединяет вершину треугольника с серединой противоположной стороны. Чтобы нарисовать медианы, необходимо для каждой стороны найти её середину, а затем соединить эту точку отрезком с противоположной вершиной.

Для нахождения середин сторон воспользуемся координатным методом. Пусть левый нижний узел сетки на рисунке а) имеет координаты $(0, -1)$, тогда вершины треугольника будут иметь следующие координаты: $A(0, 0)$, $B(3, 2)$ и $C(1, 4)$.

Координаты $(x_M, y_M)$ середины отрезка с концами в точках $(x_1, y_1)$ и $(x_2, y_2)$ находятся по формулам:

$x_M = \frac{x_1 + x_2}{2}$

$y_M = \frac{y_1 + y_2}{2}$

1. Найдем середину $M_a$ стороны $BC$.

Для точек $B(3, 2)$ и $C(1, 4)$ координаты середины $M_a$ равны:

$x_{M_a} = \frac{3+1}{2} = 2$

$y_{M_a} = \frac{2+4}{2} = 3$

Таким образом, $M_a(2, 3)$. Медиана к стороне $BC$ — это отрезок $AM_a$.

2. Найдем середину $M_b$ стороны $AC$.

Для точек $A(0, 0)$ и $C(1, 4)$ координаты середины $M_b$ равны:

$x_{M_b} = \frac{0+1}{2} = 0.5$

$y_{M_b} = \frac{0+4}{2} = 2$

Таким образом, $M_b(0.5, 2)$. Медиана к стороне $AC$ — это отрезок $BM_b$.

3. Найдем середину $M_c$ стороны $AB$.

Для точек $A(0, 0)$ и $B(3, 2)$ координаты середины $M_c$ равны:

$x_{M_c} = \frac{0+3}{2} = 1.5$

$y_{M_c} = \frac{0+2}{2} = 1$

Таким образом, $M_c(1.5, 1)$. Медиана к стороне $AB$ — это отрезок $CM_c$.

Соединим вершины с найденными серединами и получим три медианы треугольника, которые пересекаются в одной точке.

Ответ: На рисунке выше изображен треугольник $ABC$ с проведенными медианами $AM_a$, $BM_b$ и $CM_c$.

б) Для второго треугольника выполним аналогичные действия.

Введем систему координат, где левый нижний узел сетки на рисунке б) имеет координаты $(0, 0)$. Тогда вершины треугольника будут иметь координаты: $A(0, 1)$, $B(4, 0)$ и $C(2, 4)$.

1. Найдем середину $M_a$ стороны $BC$.

Для точек $B(4, 0)$ и $C(2, 4)$ координаты середины $M_a$ равны:

$x_{M_a} = \frac{4+2}{2} = 3$

$y_{M_a} = \frac{0+4}{2} = 2$

Таким образом, $M_a(3, 2)$. Медиана к стороне $BC$ — это отрезок $AM_a$.

2. Найдем середину $M_b$ стороны $AC$.

Для точек $A(0, 1)$ и $C(2, 4)$ координаты середины $M_b$ равны:

$x_{M_b} = \frac{0+2}{2} = 1$

$y_{M_b} = \frac{1+4}{2} = 2.5$

Таким образом, $M_b(1, 2.5)$. Медиана к стороне $AC$ — это отрезок $BM_b$.

3. Найдем середину $M_c$ стороны $AB$.

Для точек $A(0, 1)$ и $B(4, 0)$ координаты середины $M_c$ равны:

$x_{M_c} = \frac{0+4}{2} = 2$

$y_{M_c} = \frac{1+0}{2} = 0.5$

Таким образом, $M_c(2, 0.5)$. Медиана к стороне $AB$ — это отрезок $CM_c$.

Соединим вершины с найденными серединами и получим медианы треугольника.

Ответ: На рисунке выше изображен треугольник $ABC$ с проведенными медианами $AM_a$, $BM_b$ и $CM_c$.