Номер 7.11, страница 45 - гдз по геометрии 7 класс учебник Смирнов, Туяков

7.11. На клетчатой бумаге нарисуйте треугольник $ABC$ (рис. 7.8) и изобразите его биссектрису:

а) $\text{CD}$;

б) $\text{AD}$.

Рис. 7.8

а) Для построения биссектрисы CD угла C треугольника ABC воспользуемся свойством биссектрисы: биссектриса угла треугольника делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам. В данном случае, точка D, принадлежащая стороне AB, делит ее так, что выполняется соотношение: $${AD \over DB} = {AC \over BC}$$ Введем систему координат, приняв за единицу измерения длину стороны клетки. Поместим начало координат в левый нижний угол сетки. Тогда вершины треугольника будут иметь следующие координаты: A(2, 1), B(3, 3), C(0, 2).

Найдем длины сторон AC и BC по формуле расстояния между двумя точками $d = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2}$: $$AC = \sqrt{(2-0)^2 + (1-2)^2} = \sqrt{2^2 + (-1)^2} = \sqrt{4+1} = \sqrt{5}$$ $$BC = \sqrt{(3-0)^2 + (3-2)^2} = \sqrt{3^2 + 1^2} = \sqrt{9+1} = \sqrt{10}$$ Теперь найдем искомое отношение: $${AD \over DB} = {\sqrt{5} \over \sqrt{10}} = \sqrt{5 \over 10} = \sqrt{1 \over 2} = {1 \over \sqrt{2}}$$ Таким образом, точка D должна разделить отрезок AB в отношении $1:\sqrt{2}$, считая от точки A. Поскольку это отношение иррационально, точка D не будет находиться в узле сетки, и точное построение с помощью циркуля и линейки затруднительно на клетчатой бумаге. Однако, зная это свойство, можно определить положение точки D на стороне AB и провести отрезок CD, который и будет биссектрисой.

Изображение биссектрисы CD показано на рисунке.

Ответ: Биссектриса CD построена на рисунке синим цветом. Она делит сторону AB в отношении $AC:BC = 1:\sqrt{2}$.

б) Аналогично пункту а), для построения биссектрисы AD угла A воспользуемся свойством биссектрисы. Точка D, лежащая на стороне BC, делит ее в отношении, равном отношению прилежащих сторон AC и AB: $${CD \over DB} = {AC \over AB}$$ Введем систему координат с началом в левом нижнем углу сетки. Координаты вершин: A(0, 1), C(1, 3), B(4, 2).

Найдем длины сторон AC и AB: $$AC = \sqrt{(1-0)^2 + (3-1)^2} = \sqrt{1^2 + 2^2} = \sqrt{1+4} = \sqrt{5}$$ $$AB = \sqrt{(4-0)^2 + (2-1)^2} = \sqrt{4^2 + 1^2} = \sqrt{16+1} = \sqrt{17}$$ Найдем искомое отношение: $${CD \over DB} = {\sqrt{5} \over \sqrt{17}}$$ Чтобы построить биссектрису AD, необходимо найти на отрезке BC такую точку D, которая делит его в отношении $\sqrt{5}:\sqrt{17}$, считая от точки C. Так как это отношение иррационально, точка D не попадает в узел сетки.

Изображение биссектрисы AD показано на рисунке.

Ответ: Биссектриса AD построена на рисунке синим цветом. Она делит сторону BC в отношении $AC:AB = \sqrt{5}:\sqrt{17}$.