Номер 7.18, страница 46 - гдз по геометрии 7 класс учебник Смирнов, Туяков

7.18. Сколько треугольников изображено на рисунке 7.11?

Рис. 7.11

Для того чтобы подсчитать все треугольники на рисунке, воспользуемся системным подходом. Фигура представляет собой правильный пятиугольник, в который вписана пентаграмма (пятиконечная звезда), образованная его диагоналями. В результате пересечения диагоналей в центре образуется еще один, меньший, пятиугольник.

Всего на рисунке 10 вершин: 5 внешних вершин большого пятиугольника и 5 внутренних вершин, образованных пересечениями диагоналей.

Обозначим внешние вершины буквами A, B, C, D, E, двигаясь по часовой стрелке, начиная с самой верхней вершины.

Внутренние вершины обозначим в зависимости от того, пересечением каких диагоналей они являются:

• P — пересечение AD и BE
• Q — пересечение BE и AC
• R — пересечение AC и BD
• S — пересечение BD и CE
• T — пересечение CE и AD

Треугольником будем считать любую тройку вершин, все три стороны которой являются отрезками прямых, изображенных на рисунке. Классифицируем все треугольники по типу вершин, из которых они состоят.

1. Треугольники, состоящие из 3 внешних вершин (A, B, C, D, E) Любые три внешние вершины образуют треугольник, так как все стороны пятиугольника и все его диагонали нарисованы. Количество таких треугольников равно числу сочетаний из 5 по 3:

$C_5^3 = \frac{5!}{3!(5-3)!} = \frac{5 \cdot 4 \cdot 3}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 10$

Примеры таких треугольников: $\triangle ABC$ (образован двумя сторонами и диагональю), $\triangle ABD$ (образован одной стороной и двумя диагоналями). Всего в этой категории 10 треугольников.

2. Треугольники, состоящие из 2 внешних и 1 внутренней вершины

Рассмотрим одну из внутренних вершин, например, вершину P (пересечение AD и BE). Найдем, с какими парами внешних вершин она образует треугольники:

• $\triangle ABP$: стороны AB (внешняя сторона), AP (часть диагонали AD), BP (часть диагонали BE). Все стороны нарисованы. Это треугольник.
• $\triangle AEP$: стороны AE (внешняя сторона), AP (часть AD), EP (часть BE). Это треугольник.
• $\triangle BDP$: стороны BD (диагональ), BP (часть BE), DP (часть AD). Это треугольник.
• $\triangle DEP$: стороны DE (внешняя сторона), DP (часть AD), EP (часть BE). Это треугольник.

Пары вершин (A, D) и (B, E) не образуют треугольников с P, так как лежат с ней на одной прямой (A, P, D на диагонали AD и B, P, E на диагонали BE). Другие пары, например (A, C), не образуют треугольник, так как отрезок CP не является частью нарисованных линий.

Таким образом, каждая из 5 внутренних вершин (P, Q, R, S, T) образует 4 треугольника с двумя внешними вершинами. В силу симметрии фигуры, для каждой внутренней вершины будет по 4 таких треугольника.

Общее количество треугольников в этой категории: $5 \text{ вершин} \cdot 4 \text{ треугольника} = 20$.

Всего в этой категории 20 треугольников.

3. Треугольники, состоящие из 1 внешней и 2 внутренних вершин

Рассмотрим внешнюю вершину A. Найдем, с какими парами внутренних вершин она образует треугольник.

• $\triangle APQ$: сторона AP лежит на диагонали AD, сторона AQ лежит на диагонали AC, сторона PQ лежит на диагонали BE. Все стороны являются отрезками нарисованных линий. Это треугольник.

Другие пары внутренних вершин не образуют треугольник с вершиной A. Например, для пары (P, R) отрезок PR не является частью какой-либо нарисованной линии. Для пар (Q, R) и (P, T) все три вершины (A, Q, R и A, P, T соответственно) лежат на одной прямой.

Таким образом, каждая внешняя вершина образует ровно один треугольник с двумя внутренними вершинами. В силу симметрии, для каждой из 5 внешних вершин (A, B, C, D, E) существует по одному такому треугольнику:

• Для A: $\triangle APQ$
• Для B: $\triangle BQR$
• Для C: $\triangle CRS$
• Для D: $\triangle DST$
• Для E: $\triangle ETP$

Всего в этой категории 5 треугольников.

4. Треугольники, состоящие из 3 внутренних вершин

Попытаемся составить треугольник из трех внутренних вершин, например, P, Q, R.

• $\triangle PQR$: сторона PQ лежит на диагонали BE, сторона QR лежит на диагонали AC. Однако сторона PR не является отрезком какой-либо одной нарисованной линии (вершина P лежит на AD, а вершина R - на BD).

Следовательно, треугольника PQR на рисунке нет. Аналогично можно показать, что никакие три внутренние вершины не образуют треугольника, стороны которого полностью лежат на нарисованных линиях. В этой категории 0 треугольников.

Общий подсчет

Суммируем количество треугольников из всех категорий:

$10 (\text{тип 1}) + 20 (\text{тип 2}) + 5 (\text{тип 3}) + 0 (\text{тип 4}) = 35$

Таким образом, на рисунке изображено 35 треугольников.

Ответ: 35.