Номер 7.19, страница 46 - гдз по геометрии 7 класс учебник Смирнов, Туяков

7.19. Докажите, что если прямая пересекает одну сторону треугольника и не проходит через его вершины, то она пересекает и одну из двух других его сторон.

Это утверждение известно как аксиома Паша. Докажем его, используя аксиому о разделении плоскости прямой.

Пусть дан треугольник $ABC$ и прямая $a$. По условию, прямая $a$ не проходит через вершины треугольника $A$, $B$, $C$. Пусть прямая $a$ пересекает сторону $AB$ в некоторой точке $M$, лежащей между $A$ и $B$.

Аксиома о разделении плоскости гласит, что любая прямая (в нашем случае прямая $a$) разбивает все точки плоскости, не лежащие на ней, на две полуплоскости. При этом, если две точки принадлежат разным полуплоскостям, то отрезок, их соединяющий, пересекает прямую. Если же две точки принадлежат одной полуплоскости, то отрезок, их соединяющий, не пересекает прямую.

Поскольку прямая $a$ пересекает сторону $AB$, это по определению означает, что вершины $A$ и $B$ лежат в разных полуплоскостях относительно прямой $a$.

Теперь рассмотрим положение третьей вершины $C$. По условию, точка $C$ не лежит на прямой $a$, следовательно, она должна находиться в одной из двух полуплоскостей. Возможны два случая:

Случай 1: Вершина $C$ лежит в той же полуплоскости, что и вершина $A$.

В этом случае, поскольку $A$ и $C$ лежат в одной полуплоскости, отрезок $AC$ (сторона треугольника) не пересекает прямую $a$. Вершины $B$ и $C$ лежат в разных полуплоскостях (так как $A$ и $B$ в разных, а $C$ в той же, что и $A$). Следовательно, отрезок $BC$ (сторона треугольника) пересекает прямую $a$.

Случай 2: Вершина $C$ лежит в той же полуплоскости, что и вершина $B$.

В этом случае, поскольку $B$ и $C$ лежат в одной полуплоскости, отрезок $BC$ не пересекает прямую $a$. Вершины $A$ и $C$ лежат в разных полуплоскостях (так как $A$ и $B$ в разных, а $C$ в той же, что и $B$). Следовательно, отрезок $AC$ пересекает прямую $a$.

В обоих случаях прямая $a$ пересекает ровно одну из двух других сторон треугольника: либо $BC$ (в первом случае), либо $AC$ (во втором случае). Что и требовалось доказать.

Ответ: Доказательство строится на аксиоме о разделении плоскости прямой. Если прямая пересекает одну сторону треугольника (например, $AB$), то ее концы, вершины $A$ и $B$, оказываются в разных полуплоскостях. Третья вершина $C$, не лежащая на прямой, должна принадлежать одной из этих полуплоскостей. Если $C$ и $A$ в одной полуплоскости, то прямая пересекает сторону $BC$. Если $C$ и $B$ в одной полуплоскости, то прямая пересекает сторону $AC$. Таким образом, прямая обязательно пересечет одну из двух других сторон.