Новые знания, страница 47 - гдз по геометрии 7 класс учебник Смирнов, Туяков

Для установления равенства треугольников оказывается необязательно проверять равенство всех пар сторон и углов, а достаточно проверить равенство только некоторых из них. Соответствующие теоремы называются признаками равенства треугольников.

Используя линейку и транспортир, изобразите какой-нибудь треугольник $ABC$, для которого $AB = 5 \text{ см}$, $AC = 4 \text{ см}$, угол $\text{A}$ равен $60^\circ$. Сравните этот треугольник с треугольником, нарисованным вашим одноклассником.

Как вы думаете, равны ли эти треугольники?

Для построения треугольника $ABC$ по заданным параметрам ($AB = 5$ см, $AC = 4$ см, $\angle A = 60^\circ$) необходимо выполнить следующие действия:

1. С помощью линейки начертить отрезок $AB$ длиной 5 см.

2. С помощью транспортира построить угол с вершиной в точке $A$, равный $60^\circ$, так, чтобы одна из его сторон совпадала с лучом $AB$.

3. На второй стороне построенного угла отложить от точки $A$ отрезок $AC$ длиной 4 см.

4. Соединить точки $B$ и $C$ отрезком.

В результате будет построен искомый треугольник $ABC$.

Как вы думаете, равны ли эти треугольники?

Да, треугольники, построенные по одинаковым параметрам (две стороны и угол между ними), будут равны.

Рассмотрим ваш треугольник, назовем его $\triangle ABC$, и треугольник вашего одноклассника, назовем его $\triangle A'B'C'$.

По условию задачи, в $\triangle ABC$:

$AB = 5$ см

$AC = 4$ см

$\angle A = 60^\circ$

Ваш одноклассник строил $\triangle A'B'C'$ по тем же параметрам:

$A'B' = 5$ см

$A'C' = 4$ см

$\angle A' = 60^\circ$

Мы видим, что сторона $AB$ первого треугольника равна стороне $A'B'$ второго, сторона $AC$ равна стороне $A'C'$, и угол $\angle A$ между этими сторонами равен углу $\angle A'$.

Согласно первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними): если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.

Поскольку условия этого признака выполняются ($AB = A'B'$, $AC = A'C'$, $\angle A = \angle A'$), можно сделать вывод, что треугольники равны: $\triangle ABC \cong \triangle A'B'C'$.

Ответ: Да, эти треугольники равны.