Номер 7.20, страница 46 - гдз по геометрии 7 класс учебник Смирнов, Туяков

Подготовьтесь к овладению новыми знаниями

7.20. Сторона и прилежащий к ней угол одного треугольника соответственно равны стороне и прилежащему к ней углу другого треугольника. Будут ли эти треугольники равны? Приведите пример.

7.20. Нет, не обязательно. Равенство одной стороны и одного прилежащего к ней угла не является достаточным условием для равенства треугольников. Это условие не соответствует ни одному из признаков равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними; по стороне и двум прилежащим к ней углам; по трем сторонам).

Чтобы доказать это, достаточно привести контрпример, то есть пример двух треугольников, которые удовлетворяют данному условию, но не являются равными.

Рассмотрим два треугольника: $\triangle ABC$ и $\triangle A_1B_1C_1$.

Пусть в треугольнике $\triangle ABC$ сторона $AC = 10$ см, а один из прилежащих к ней углов, например $\angle A$, равен $30^\circ$. Чтобы однозначно задать этот треугольник, выберем длину второй стороны, образующей угол $\angle A$. Пусть $AB = 8$ см. Треугольник $\triangle ABC$ теперь полностью определен по первому признаку равенства (две стороны и угол между ними).

Теперь рассмотрим треугольник $\triangle A_1B_1C_1$. По условию задачи, у него должны быть сторона и прилежащий угол, равные стороне и прилежащему углу $\triangle ABC$. Пусть $A_1C_1 = AC = 10$ см и $\angle A_1 = \angle A = 30^\circ$. Условие задачи выполнено.

Однако, для построения второго треугольника мы можем выбрать длину стороны $A_1B_1$ не равной стороне $AB$. Например, пусть $A_1B_1 = 12$ см. Треугольник $\triangle A_1B_1C_1$ также полностью определен.

Сравним полученные треугольники. В $\triangle ABC$ имеем: $AC=10$ см, $\angle A = 30^\circ$, $AB=8$ см. В то же время в $\triangle A_1B_1C_1$ имеем: $A_1C_1=10$ см, $\angle A_1 = 30^\circ$, $A_1B_1=12$ см.

Очевидно, что $\triangle ABC$ не равен $\triangle A_1B_1C_1$, так как их соответствующие стороны $AB$ и $A_1B_1$ не равны ($8 \neq 12$). При этом условие, указанное в задаче (равенство одной стороны и прилежащего к ней угла), для них выполняется.

Ответ: Нет, треугольники не обязательно будут равны. Примером могут служить два треугольника, у которых равна одна сторона (например, 10 см) и один прилежащий к ней угол (например, $30^\circ$), но в одном треугольнике вторая сторона, образующая этот угол, равна 8 см, а в другом — 12 см.