Номер 8.5, страница 48 - гдз по геометрии 7 класс учебник Смирнов, Туяков

8.5. На рисунке 8.4 $\text{BH}$ перпендикулярна $\text{AC}$ и $AH = CH = 2$ см, $AB = 5$ см. Найдите $\text{BC}$.

Рис. 8.4

Рассмотрим треугольник $\triangle ABC$. По условию задачи, отрезок $BH$ перпендикулярен стороне $AC$. Это означает, что $BH$ является высотой треугольника, проведенной к стороне $AC$.

Также по условию дано, что $AH = CH = 2$ см. Это значит, что точка $H$ является серединой отрезка $AC$, и, следовательно, $BH$ является медианой треугольника $\triangle ABC$.

Поскольку в треугольнике $\triangle ABC$ отрезок $BH$ является одновременно и высотой, и медианой, то этот треугольник является равнобедренным с основанием $AC$.

В равнобедренном треугольнике боковые стороны равны. В данном случае боковыми сторонами являются $AB$ и $BC$. Таким образом, $AB = BC$.

Из условия задачи мы знаем, что $AB = 5$ см. Следовательно, $BC$ также равно 5 см.

Дополнительное обоснование: Равенство сторон $AB$ и $BC$ можно также доказать через равенство треугольников $\triangle ABH$ и $\triangle CBH$. Эти треугольники являются прямоугольными, так как $BH \perp AC$. У них общий катет $BH$ и равные катеты $AH$ и $CH$ ($AH = CH = 2$ см). Следовательно, $\triangle ABH = \triangle CBH$ по двум катетам. Из равенства треугольников следует равенство их гипотенуз: $AB = BC$.

Ответ: 5 см.