Номер 8.10, страница 49 - гдз по геометрии 7 класс учебник Смирнов, Туяков

8.10. На рисунке 8.8 $AB = AD$ и $\angle BAC = \angle DAC$. Докажите, что $BC = DC$.

Рис. 8.8

Рассмотрим треугольники $\triangle ABC$ и $\triangle ADC$.

Для доказательства равенства сторон $BC$ и $DC$ сравним эти два треугольника по элементам, данным в условии:

1. $AB = AD$ (по условию задачи).

2. $\angle BAC = \angle DAC$ (по условию задачи).

3. $AC$ — общая сторона для обоих треугольников.

Таким образом, две стороны и угол между ними треугольника $\triangle ABC$ ($AB$, $AC$ и $\angle BAC$) соответственно равны двум сторонам и углу между ними треугольника $\triangle ADC$ ($AD$, $AC$ и $\angle DAC$).

Следовательно, по первому признаку равенства треугольников, $\triangle ABC = \triangle ADC$.

Из равенства треугольников следует, что их соответствующие элементы равны. Сторона $BC$ лежит напротив угла $\angle BAC$, а сторона $DC$ — напротив угла $\angle DAC$. Поскольку $\angle BAC = \angle DAC$, стороны $BC$ и $DC$ являются соответствующими в равных треугольниках.

Значит, $BC = DC$, что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано.