Номер 8.17, страница 50 - гдз по геометрии 7 класс учебник Смирнов, Туяков

8.17. Чтобы измерить на местности расстояние между двумя точками $\text{A}$ и $\text{B}$, между которыми нельзя пройти по прямой (рис. 8.13), выбирают какую-нибудь точку $\text{C}$, для которой можно измерить расстояния $\text{AC}$ и $\text{BC}$, и откладывают отрезки $CD = AC$ и $CE = BC$. Тогда расстояние между точками $\text{E}$ и $\text{D}$ будет равно искомому расстоянию. Объясните почему.

Рис. 8.13

Чтобы объяснить, почему расстояние между точками $E$ и $D$ равно расстоянию между точками $A$ и $B$, рассмотрим треугольники $△ABC$ и $△DEC$, которые образовались в результате построений.

Согласно условию задачи, были отложены отрезки $CD = AC$ и $CE = BC$.

Углы $∠ACB$ и $∠DCE$ являются вертикальными, так как они образованы при пересечении прямых $AD$ и $BE$. По свойству вертикальных углов, они равны: $∠ACB = ∠DCE$.

Таким образом, мы можем сравнить треугольники $△ABC$ и $△DEC$. У них: сторона $AC$ равна стороне $DC$ (по построению), сторона $BC$ равна стороне $EC$ (по построению), и угол $∠ACB$ между этими сторонами равен углу $∠DCE$ (как вертикальные углы).

По первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними), если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны. Следовательно, $△ABC = △DEC$.

В равных треугольниках соответственные элементы равны. Сторона $AB$ в треугольнике $△ABC$ лежит напротив угла $∠ACB$. Сторона $DE$ в треугольнике $△DEC$ лежит напротив равного ему угла $∠DCE$. Значит, стороны $AB$ и $DE$ являются соответственными, и их длины равны.

Таким образом, $AB = DE$. Это доказывает, что измерив расстояние между точками $E$ и $D$, мы находим искомое расстояние между точками $A$ и $B$.

Ответ: Расстояние между точками $E$ и $D$ равно искомому расстоянию $AB$, потому что треугольник $△ABC$ равен треугольнику $△DEC$ по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними). Равенство треугольников следует из того, что стороны $AC = DC$ и $BC = EC$ по построению, а углы $∠ACB$ и $∠DCE$ равны как вертикальные. Из равенства треугольников следует равенство их соответственных сторон: $AB = DE$.