Номер 8.18, страница 50 - гдз по геометрии 7 класс учебник Смирнов, Туяков

8.18. Верно ли, что если две стороны и угол одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу другого треугольника, то такие треугольники равны?

Нет, это утверждение в общем случае неверно.

Равенство двух треугольников по двум сторонам и углу однозначно определяется только в том случае, если этот угол заключен между данными сторонами. Это первый признак равенства треугольников (сторона-угол-сторона, или СУС). Если же заданный угол не лежит между двумя сторонами, а противолежит одной из них (случай "сторона-сторона-угол", ССУ), то равенство треугольников не гарантировано.

Чтобы доказать ложность утверждения, достаточно привести один контрпример, когда условие выполняется, а треугольники не равны.

Рассмотрим, как можно построить два разных треугольника с двумя равными сторонами и равным углом.

Пусть нам даны два отрезка длиной $a$ и $b$ и угол $\alpha$. Попытаемся построить треугольник $ABC$, в котором $AC=b$, $BC=a$ и $\angle A = \alpha$.

1. Построим угол с вершиной в точке $A$, равный $\alpha$.

2. На одной из сторон угла отложим отрезок $AC$ длиной $b$.

3. Из точки $C$ как из центра проведем окружность радиусом $a$. Точки, в которых эта окружность пересечет вторую сторону угла, могут быть вершиной $B$ нашего треугольника.

Ключевой момент заключается в том, что таких точек пересечения может быть две. Это происходит, когда длина стороны $a$, противолежащей углу $\alpha$, меньше длины прилежащей стороны $b$, но при этом больше, чем высота треугольника, опущенная из вершины $C$ ($h = b \sin \alpha$). То есть, когда выполняется условие $b \sin \alpha < a < b$.

В этом случае окружность пересечет вторую сторону угла в двух различных точках, назовем их $B_1$ и $B_2$. В результате мы получаем два разных треугольника: $\triangle AB_1C$ и $\triangle AB_2C$.

У обоих этих треугольников:

• Сторона $AC$ — общая.
• Угол $\angle A = \alpha$ — общий.
• Стороны $CB_1$ и $CB_2$ равны $a$ (по построению как радиусы одной окружности).

Таким образом, оба треугольника, $\triangle AB_1C$ и $\triangle AB_2C$, удовлетворяют условию ССУ (имеют две равные стороны и равный угол, не лежащий между ними), но они очевидно не равны друг другу, так как их третьи стороны $AB_1$ и $AB_2$ имеют разную длину.

Численный пример:

Рассмотрим два треугольника. Пусть в обоих есть:

• сторона длиной $10$ см;
• сторона длиной $7$ см;
• угол $30^\circ$, противолежащий стороне в $7$ см.

Проверим, можно ли с такими данными построить два разных треугольника. Здесь $b=10$, $a=7$, $\alpha=30^\circ$. Условие неоднозначности: $b \sin \alpha < a < b$.

$10 \cdot \sin 30^\circ < 7 < 10$

$10 \cdot 0.5 < 7 < 10$

$5 < 7 < 10$

Неравенство верно, значит, существует два различных треугольника с такими параметрами. Посчитаем их углы с помощью теоремы синусов $\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B}$:

$\frac{7}{\sin 30^\circ} = \frac{10}{\sin B}$

$\sin B = \frac{10 \cdot \sin 30^\circ}{7} = \frac{10 \cdot 0.5}{7} = \frac{5}{7}$

Уравнение $\sin B = 5/7$ имеет два решения для угла треугольника (от $0^\circ$ до $180^\circ$):

1. Угол $B_1 = \arcsin(5/7) \approx 45.6^\circ$. Тогда третий угол $C_1 = 180^\circ - 30^\circ - 45.6^\circ = 104.4^\circ$.

2. Угол $B_2 = 180^\circ - \arcsin(5/7) \approx 134.4^\circ$. Тогда третий угол $C_2 = 180^\circ - 30^\circ - 134.4^\circ = 15.6^\circ$.

Мы получили два совершенно разных треугольника (один тупоугольный, другой остроугольный), у которых при этом две стороны и угол соответственно равны. Следовательно, эти треугольники не равны.

Ответ: Нет, не верно.