Номер 9.3, страница 52 - гдз по геометрии 7 класс учебник Смирнов, Туяков

9.3. На рисунках 9.4 отмечены равные отрезки и равные углы. Укажите на них равные треугольники.

Рис. 9.4

а) Рассмотрим треугольники $ABC$ и $ADC$. У них сторона $AC$ является общей. По условию, угол $\angle BAC$ равен углу $\angle DAC$, и угол $\angle BCA$ равен углу $\angle DCA$. Следовательно, треугольники равны по второму признаку равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим к ней углам).

Ответ: $\triangle ABC = \triangle ADC$.

б) Рассмотрим треугольники $ABD$ и $CDB$. У них сторона $BD$ является общей. Согласно отметкам на рисунке, угол $\angle ABD$ равен углу $\angle CDB$, и угол $\angle ADB$ равен углу $\angle CBD$. Таким образом, треугольники равны по второму признаку равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим к ней углам).

Ответ: $\triangle ABD = \triangle CDB$.

в) Рассмотрим треугольники $ABD$ и $CBE$. По условию, сторона $AB$ равна стороне $CB$ (отмечены двумя черточками), и сторона $DB$ равна стороне $EB$ (отмечены одной черточкой). Углы $\angle ABD$ и $\angle CBE$ равны, так как они являются вертикальными. Следовательно, треугольники $ABD$ и $CBE$ равны по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними).

Ответ: $\triangle ABD = \triangle CBE$.

г) Рассмотрим треугольники $AOD$ и $BOC$. По условию, $AO = BO$ и $CO = DO$ (соответствующие отрезки отмечены одинаковым количеством черточек). Углы $\angle AOD$ и $\angle BOC$ равны как вертикальные. Следовательно, $\triangle AOD = \triangle BOC$ по первому признаку (по двум сторонам и углу между ними). Из этого равенства следует, что $AD = BC$ и $AC = AO+OC = BO+DO = BD$.

Теперь рассмотрим треугольники $DAB$ и $CBA$. У них сторона $AB$ — общая, $AD = BC$ и $BD = AC$ (как доказано выше). Следовательно, $\triangle DAB = \triangle CBA$ по третьему признаку (по трем сторонам).

Также равны и треугольники $ADC$ и $BCD$, так как у них сторона $CD$ — общая, $AD = BC$ и $AC = BD$. Следовательно, $\triangle ADC = \triangle BCD$ по третьему признаку.

Ответ: $\triangle AOD = \triangle BOC$, $\triangle DAB = \triangle CBA$, $\triangle ADC = \triangle BCD$.

д) Рассмотрим треугольники $ADC$ и $BEC$. У них угол $\angle C$ — общий. По условию, отрезки $CE = CD$ (отмечены одной черточкой) и $AE = BD$ (отмечены двумя черточками). Тогда стороны $AC = AE + EC$ и $BC = BD + DC$ также равны. Таким образом, $\triangle ADC = \triangle BEC$ по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам $AC=BC$, $CD=CE$ и углу $\angle C$ между ними).

Из равенства $\triangle ADC = \triangle BEC$ следует, что $AD = BE$. Теперь рассмотрим треугольники $ABE$ и $BAD$. У них сторона $AB$ — общая, $AE = BD$ (по условию) и $BE = AD$ (из доказанного). Следовательно, $\triangle ABE = \triangle BAD$ по третьему признаку (по трем сторонам).

Ответ: $\triangle ADC = \triangle BEC$, $\triangle ABE = \triangle BAD$.

е) Рассмотрим треугольники $ADO$ и $BCO$. По условию, $AO = BO$ (отмечены одной черточкой) и $DO = CO$ (отмечены двумя черточками). Углы $\angle AOD$ и $\angle BOC$ равны как вертикальные. Следовательно, $\triangle ADO = \triangle BCO$ по первому признаку (по двум сторонам и углу между ними). Из этого равенства следует, что $AD = BC$. Также из условия следует, что диагонали $AC = AO + OC$ и $BD = BO + OD$ равны.

Рассмотрим треугольники $ADC$ и $BCD$. У них сторона $CD$ — общая, $AD = BC$ и $AC = BD$. Следовательно, $\triangle ADC = \triangle BCD$ по третьему признаку (по трем сторонам).

Рассмотрим треугольники $ADB$ и $BCA$. У них сторона $AB$ — общая, $AD = BC$ и $BD = AC$. Следовательно, $\triangle ADB = \triangle BCA$ по третьему признаку (по трем сторонам).

Ответ: $\triangle ADO = \triangle BCO$, $\triangle ADC = \triangle BCD$, $\triangle ADB = \triangle BCA$.